Avventuriamoci nelle cubiche.
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- Iscritto il: 30 ago 2006, 14:49
Avventuriamoci nelle cubiche.
Sia $ \mathcal{D} $ una cubica irriducibile di $ \mathbb{P}^2(\mathbb{C}) $ con una cuspide. Dimostrare che $ \mathcal{D} $ ha al più un flesso. Sarà che ero stanco, ma ieri sera ci ho messo due ore per farlo Good luck.
non so se va...
innanzitutto,a meno di proiettività,posso supporre che $ \mathcal{D} $ abbia la cuspide in [1 0 0] con tangente principale $ x_1 = 0 $.
Ora,l'equazione di $ \mathcal{D} $ risulta $ a{x_1}^3 + b{x_2}^3 + c{x_1}^2{x_2} + d{x_1}{x_2}^2 + e{x_0}{x_2}^2 = 0 $.
I punti di flesso di questa curva sono quelli non singolari che ha in comune con la propria hessiana.Ora,l'equazione dell'hessiana è $ (dx_1 + 3bx_2){x_1}^2 = 0 $,che è l'unione di tre rette.Due di queste sono la tangente principale di [1 0 0],per cui le intersezioni della terza con $ \mathcal{D} $ saranno i punti di flesso.I punti di intersezione sono [1 0 0](quindi con molteplicità 2),e un eventuale terzo punto,che sarà quindi l'unico punto di flesso della curva.
innanzitutto,a meno di proiettività,posso supporre che $ \mathcal{D} $ abbia la cuspide in [1 0 0] con tangente principale $ x_1 = 0 $.
Ora,l'equazione di $ \mathcal{D} $ risulta $ a{x_1}^3 + b{x_2}^3 + c{x_1}^2{x_2} + d{x_1}{x_2}^2 + e{x_0}{x_2}^2 = 0 $.
I punti di flesso di questa curva sono quelli non singolari che ha in comune con la propria hessiana.Ora,l'equazione dell'hessiana è $ (dx_1 + 3bx_2){x_1}^2 = 0 $,che è l'unione di tre rette.Due di queste sono la tangente principale di [1 0 0],per cui le intersezioni della terza con $ \mathcal{D} $ saranno i punti di flesso.I punti di intersezione sono [1 0 0](quindi con molteplicità 2),e un eventuale terzo punto,che sarà quindi l'unico punto di flesso della curva.
Sunshine or rain, it's all the same, life isn't gray
oh Mary-Lou.
(Mary-Lou --- Sonata Arctica)
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