intersezione di angoli alla circonferenza

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

dall'intersezione di due angoli alla circonferenza di ugual misura rispettivamente di vertici E ed F che sottendono archi distinti AB e CD si ottiene un quadrilatero (E ed F devono essere presi in modo che gli angoli si incrocino).
1) Dimostrare che fissati gli archi AB e CD e fissata la misura di EF, la variare della posizione dell'arco EF sulla circonferenza i quadrilateri ottenuti avranno una diagonale di uguale lunghezza.
2) determinare la direzione delle diagonali

[elianto84]

Chiamo G l'intersezione di BE e DF, H l'intersezione di AE e CF, O il
circocentro di ACBDEF. Claim: GHFE è ciclico. E' sufficiente provare (angle chasing) DGB=CHA. Passando ai supplementari: CAE+ACF=pi-(AOC+EOF)/2=pi-(BOD+EOF)/2=DBE+BDF. Ci siamo.
Abbiamo così (teorema del seno) anche il diametro della circonferenza circoscritta a GHFE, pari a EF/sin((BOD+EOF)/2).

(DAFE ciclico + GHFE ciclico) = (GH parallelo a AD parallelo a BC)
Inoltre GH = EF sin(AEB) / sin((BOD+EOF)/2).

That's all. Con metodi analoghi si prova che l'altra diagonale del quadrilatero nato dall'intersezione tra gli angoli AEB e BFC passa attraverso l'intersezione dei segmenti AC e BD.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

GHFE è ciclico. E' sufficiente provare (angle chasing) DGB=CHA. Passando ai supplementari: CAE+ACF=pi-(AOC+EOF)/2=pi-(BOD+EOF)/2=DBE+BDF.

oppure basta dire che ^EEB e ^CFD sono congruenti per ipotesi...

Con metodi analoghi si prova che l'altra diagonale del quadrilatero nato dall'intersezione tra gli angoli AEB e BFC passa attraverso l'intersezione dei segmenti AC e BD.

(tra AEB e DFC semmai )
oppure senza rischiare di incasinarsi basta usare il teorema di Pappo-Pascal sulla circonferenza

comunque va bene