Valore assoluto...

[Ponnamperuma]

Propongo questo quesito dalla gara a squadre a Cesenatico 2002...
Rimossa l'introduzione, determinare il minimo dell'espressione $ \displaystyle |2003+2002x+2001x^2+...+2x^{2001}+x^{2002}| $.

Ciao!

[fede90]

Io sostituirei $ $x=-1$ $ in modo che tutti le x con esponente pari diventino 1 e quelle con esponente dispari -1.
In questo modo la sommatoria diventa:
$ $2003-2002+2001-2000+ \ldots +2-1=1002$ $

Certo questa è solo un'intuizione non saprei come dimostrare che questo è il valore minimo...

[Ponnamperuma]

In effetti ci hai azzeccato!...
Però, appunto, cerco una dimostrazione... Io sono solo approdato a una riscrittura dell'espressione, molto più compatta, ma da cui comunque non so procedere...
Se mai più avanti la posterò!... Ciao!

[fede90]

$ $ |\sum_{i=0}^{2003} (2003-i)x^i| $ $

se non sbaglio la si può scrivere così

[Ponnamperuma]

Beh, sì, ma così non ti muovi, è proprio solo una riscrittura... Invece io ho cominciato così:
$ \displaystyle |2003+2002x+...+2x^{2001}+x^{2002}|= $$ \displaystyle |(x^{2002}+x^{2001}+...+x+1)+(x^{2001}+x^{2000}+...+x+1) $$ \displaystyle +...+(x+1)+1| $, e poi si gioca con la formula delle serie geometriche, si fa denominatore comune, e si semplifica un bel po'!...
Dai, postate una soluzione completa...

[Leblanc]

Vedila come:
$ \displaystyle |2003+2002x+2001x^2+...+2x^{2001}+x^{2002}|= $$ |1002+1001(x^2+2x+1)+1000*x^2*(x^2+2x+1)+ $$ 999*x^4*(x^2+2x+1)+...+x^2000(x^2+2x+1)|= $$ |1002+(x+1)^2(1001+1000*x^2+999*x^4*+...+x^2000)| $.
A questo punto e' evidente che il minimo si ha per x=-1, perche' la seconda parte del polinomio e' sempre maggiore o uguale a 0.
Ciao!

[Ponnamperuma]

...wow... grande!...
L'ultima espressione a cui ero giunto io, invece, era
$ \displaystyle \left|x\frac{x^{2003}-1}{(x-1)^2}-\frac{2003}{x-1}\right| $...
Da qui si può concludere? Anche se probabilmente sarà meno elegante e più complicato vorrei sapere come si fa, per completezza!

Grazie mille in anticipo... Ciao!

[salva90]

occhio ponna che per x=1 la tua espressione perde senso

[Ponnamperuma]

Va bene, l'avevo visto, ma per x=1 vedo che vale $ \displaystyle\frac{2003\cdot 2004}{2} $, molto più di quanto valga, "per esempio", per x=-1...
Dunque non mi preoccupo più del denominatore e cerco solo di dimostrare che per -1 si ha il minimo...
E' così scorretto come ragionamento?!

[salva90]

Nono, era solo un appunto il mio

[Sisifo]

...wow... grande!...
L'ultima espressione a cui ero giunto io, invece, era
$ \displaystyle \left|x\frac{x^{2003}-1}{(x-1)^2}-\frac{2003}{x-1}\right| $...
Da qui si può concludere? Anche se probabilmente sarà meno elegante e più complicato vorrei sapere come si fa, per completezza!

Grazie mille in anticipo... Ciao!

A questo punto una soluzione disperata può essere.. Derivare! Non dovrebbe venire neanche malissimo con un paio di accorgimenti..

(Ovviamente la sol di Leblanc è, tanto per cambiare, la più elegante )

[Ponnamperuma]

Dannazione, e dire che mi piaceva l'incipit, credevo che fosse una buona via per una dimostrazione elementare!...
Beh, grazie Sisifo, e ricomplimenti a Leblanc (se mai ce ne fosse bisogno! )...
Ciao!