Luogo dei punti con rapporto di due distanze costante

[teppic]

E' fatto ben noto e facilmente dimostrabile per via analitica che fissati nel piano due punti A, B e un reale positivo $ r $, il luogo dei punti P tali che $ AP/BP=r $ è una circonferenza (degenere se $ r=1 $).

Scusate la domanda scema: come si può dimostrare in maniera sintetica? Ci ho provato mezz'ora senza successo

[edriv]

Intanto segnamo i punti che appartengono al luogo cercato e che stanno sulla retta. Cioè, i punti C,D tali che:
$ \displaystyle \frac{AC}{CB} = k $
$ \displaystyle \frac{AD}{DB} = -k $
(quel - vuol dire solo che D non sta tra A e B)
ABCD formano una quaterna armonica, tanto per dire.

Ora possiamo prendere un punto P qualsiasi appartenente al luogo, e applicare fruttuosamente il teorema della bisettrice (che si dimostra sinteticamente, of course):
$ \displaystyle \frac {PA}{PB} = \frac{CA}{CB} $, quindi PC è la bisettrice (interna) dell'angolo $ ~ \angle APB $.
Allo stesso modo $ \displaystyle \frac {PA}{PB} = \frac{DA}{DB} $, quindi PD è la bisettrice (esterna) dell'angolo $ ~ \angle APB $. (sì, il teorema della bisettrice funziona benissimo anche in questo caso)

Concludiamo che
$ ~ \angle APC = \angle CPB $
$ ~ \angle BPD = \angle DPA $ (come angoli orientati,altrimenti prendete qualche brutto supplementare)
Ma:
$ ~ \angle APC + \angle CPB + \angle BPD + \angle DPA = 180° $
Quindi:
$ ~ \angle CPB + \angle BPD = 90° $
Ovvero, P sta sulla circonferenza di diametro CD.

[EvaristeG]

E facciamo gli sboroni, va... questo problema si può risolvere in maniera indegna come segue: troviamo il punto O (quello che edriv chiama C) sul segmento AB che soddisfa la richiesta; dopo di che invertiamo in O con raggio a caso, tipo R.
Dunque, se P stava nel luogo, si ha che
$ \dfrac{PA}{PB}=k $ dunque $ \dfrac{A'P'}{B'P'}=\dfrac{R^2\cdot AP}{OP\cdot OA}\dfrac{OP\cdot OB}{R^2\cdot BP}=\dfrac{AP}{BP}\dfrac{OB}{OA}=1 $
e viceversa, ovviamente. Dunque l'inverso del luogo è l'asse dell'inverso di AB (che è cmq un segmento sulla retta di AB).
Quindi il luogo è una circonferenza per O, che ha tangente in O parallela all'asse di AB . Inoltre, senza fatica si troverà il punto O' (che edriv chiama D) esterno ad AB ma sulla sua retta, per cui passa il luogo, ottenendo una descrizione completa del luogo.

[elianto84]

Fissato un punto P, una lunghezza d e un rapporto k, il luogo dei segmenti AB di lunghezza d che realizzano AP/BP=k è una corona circolare. P vede dunque muoversi A (B,C,O) lungo una circonferenza. Cambiando punto di vista, la tesi.

[teppic]

Grazie a tutti.

Temo però di non aver capito la dimostrazione di Elianto... secondo me P vede muoversi A all'interno di una corona circolare (la stessa coperta dal segmento AB), non lungo una circonferenza.

[elianto84]

Ok, AB descriverà una corona circolare, i cui bordi (circonferenze) dovranno necessariamente essere descritti dagli estremi dei segmenti mobili.