Probabilità ed espressione decimale di un numero

[edriv]

Dimostrare che quasi tutti i numeri contengono nella loro rappresentazione decimale il numero di telefono di EvaristeG.

[pic88]

Quale che sia il numero di evaristeG (che immagino abbia un numero finito di cifre, diciamo k), si dimostra che la probabilità che un naturale $ n $ lo contenga tende a 1 al crescere di $ n $. La probabilità che le prime k cifre siano proprio il numero in questione è $ 10^{-k} $, quindi la probabilità che non siano tale numero è $ 1-10^{k} $. Per comodità consieriamo la probabilità che il numero si trovi in posizione dalla hk-esima cifra alla (h+1)k-1 -esima cifra. Questa è minore della probabilità da calcolare. Se $ n $ ha $ ak $ cifre, allora la probabilità che in nessuna delle a stringhe contenga il numero è $ 1-(10^{-k})^{a} $, che tende a 1 al crescere di a. considerato poi, che dato un numero m, la probabilità di scegliere un numero > m è 1, abbiamo finito.

[edriv]

Ok
Ne sarà fiero!