serie con integrale

[hydro]

Determinare il carattere della seguente serie:

$ \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin x)^n dx $

Non conosco la fonte, ma credo proprio che sia banalmente un'esercitazione di
analisi II...

[elianto84]

Poniamo $ S(m)=\int_{0}^{\pi/2}\sin^m(x)\,dx $
Integrando per parti si ha
$ S(2n+1)=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} $
$ S(2n)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} $
ciò che c'è da studiare è dunque il comportamento della serie
$ \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{4^n}{(2n+1){2n \choose n}} $
ma per il criterio del rapporto
$ \lim_{n\to+\infty}\frac{{2n+2\choose n+1}}{{2n\choose n}}=4 $
si ha che la serie si comporta in maniera analoga a
$ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n+1} $
che diverge logaritmicamente.

PS: Applicando Stirling si ha una stima piu' accurata:
$ \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\sim\frac{\sqrt{\pi n}}{2n+1} $