Dal PEN con furore 2

[Cammy87]

Dati $ m $,$ n $ numeri naturali dimostrare che il numero $ \displaystyle \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} $ è ancora un numero naturale.

Good work!

[darkcrystal]

Identità di Legendre e un po' di voglia sulle parti intere

Ciao!

[Cammy87]

Non la conoscevo! Comunque ci proverò appena ho tempo! Thanks

[HiTLeuLeR]

Dati $ m $,$ n $ numeri naturali dimostrare che il numero $ \displaystyle \frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} $ è ancora un numero naturale.

In questi casi, se si è inabili in combinatorica - eccomi, son qui! -, l'alternativa più ragionevole è quella di ricorrere - come qualcuno ha giustamente suggerito - all'identità di Legendre(-De Polignac), e mostrare che, per ogni primo naturale $ p $, la valutazione $ p $-adica $ v_p(\cdot) $ dell'espressione proposta è maggiore di o uguale a zero. E infatti

$ \displaystyle v_p\!\left(\frac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}\right) = $ $ v_p((2m)!) + v_p((2n)!) - v_p(m!) - v_p(n!) - v_p((m+n)!) = $

$ = \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{2m}{p^k}\right\rfloor + \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{2n}{p^k}\right\rfloor - \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{m}{p^k}\right\rfloor - \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{n}{p^k}\right\rfloor - \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{m+n}{p^k}\right\rfloor = $

$ = \displaystyle \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{m}{p^k} + \frac{1}{2} \right\rfloor + \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{n}{p^k} + \frac{1}{2} \right\rfloor - \sum_{k=1}^\infty \left\lfloor \frac{m}{p^k}+\frac{n}{p^k}\right\rfloor \ge 0 $,

considerato che, per ogni $ x, y \in \mathbb{R} $ ed ogni intero $ n \ge 2 $: $ \displaystyle \lfloor nx \rfloor = \sum_{k=0}^{n-1} \left\lfloor x + \frac{k}{n}\right\rfloor $ e $ \displaystyle \left\lfloor x + \frac{1}{2}\right\rfloor + \left\lfloor y + \frac{1}{2}\right\rfloor \ge \lfloor x + y\rfloor $.