Dimostrare che:
$ $ p\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\dots+\frac{1}{p-2}\right)\equiv 2^{p-1}-1 \pmod {p^2} $
dove $ p $ è un primo naturale
EDIT: Scusate..
Sembra la solita cosa ma... [Somma inversi dispari mod p^2]
Sembra la solita cosa ma... [Somma inversi dispari mod p^2]
Ultima modifica di Boll il 20 apr 2007, 21:52, modificato 1 volta in totale.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
- donchisciotte
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ehm, scusa, io sn totalmente ignorante in questi campi...
potresti chiarirmi le caratteristiche di p?
io ho pensato di risolverlo cn l'induzione.. è una buona idea?
potresti chiarirmi le caratteristiche di p?
io ho pensato di risolverlo cn l'induzione.. è una buona idea?
"Un uomo senza sogni, senza utopie, senza ideali,
sarebbe un mostruoso animale,
un cinghiale laureato in matematica pura"
(Fabrizio De André)
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- Ponnamperuma
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Ehi tu, Bollazzo!
...dove $ p $, casomai, è un primo naturale $ \ge 3 $ - felice di ritrovarti ancora qui, sciagurato! Dunque, qualche conto eBoll ha scritto:Dimostrare che:
$ $ p\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\dots+\frac{1}{p-2}\right)\equiv 2^{p-1}-1 \pmod {p^2} $
dove $ p $ è un primo naturale
$ \displaystyle 2^{p-1} - 1 \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p-1}{k} \equiv p \cdot \sum_{k=1}^{p-1} \!\left((-1)^{k-1} \cdot \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}\right) \!\!\!\mod p^2 $.
Si è perciò riportati a dimostrare che
$ \displaystyle 1 + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{p-2} \equiv \sum_{k=1}^{p-1} \!\left((-1)^{k-1} \cdot \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}\right) \!\!\!\mod p $.
Ma questo è banale, siccome
$ \displaystyle \sum_{k=1}^{p-1} \!\left((-1)^{k-1} \cdot \sum_{i=1}^k \frac{1}{i}\right) = \sum_{i=1}^{p-1} \!\left(\frac{1}{i} \cdot \sum_{k=i}^{p-1} (-1)^{k-1}\right) = $ $ \displaystyle -\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{p-1}\right) $.
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Dio ha inventato i numeri interi. Tutto il resto è opera dell'uomo. ~ Leopold Kronecker
Una sera, di presso al tramonto, un'anziana signora, incontrata per Caso sui binari di una vecchia stazione in disuso, mi domandò se sapessi dove finisce il Cielo. Sconfitto, felice - risposi non so. Oggi ancora ricordo le sue ultime parole, un attimo prima di partire, quando - con tutta la tenerezza ingenua di una vita - mi rivelò, come a susurrarmi un segreto, che il Cielo finisce nel cuore di Dio. ~ S
Allora si poteva anche scrivere: "La tesi è vera per fatti noti combinati nel giusto modo", non credi? Quindi potremmo sempre scrivere "Sicuramente ciò che dobbiamo dimostrare è vero per una combinazione corretta e ben ordinata di fatti già precedentemente noti". Ma non credo sia molto costruttivo... Tutta l'idea del problema stava proprio nel fatto di sviluppare in Newton (1+1)^(p-1), poi non so come la pensi tuHiTLeuLeR ha scritto:Perdonami, ho dato per certo che fosse già noto.Boll ha scritto:Almeno almeno potevi scrivere 2=(1+1)
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)