Trasmissione del calore in una barra omogenea

[Pablo_]

Una barra omogenea viene riscaldata con un becco bunsen da un'estremità e lungo la sbarra vengono posizionati dei termometri in modo da determinare la funzione $ T(x) $ in regime stazionario, con x la distanza dall'estremità. Il mio problema è determinare in generale la funzione $ T\left( {x,t} \right) $ prima che venga raggiunto il regime stazionario.
L'equazione di diffusione del calore supponendo che la temperatura della barra sia abbastanza vicina a quella ambiente dovrebbe essere secondo i miei calcoli:
$ \displaystyle \nabla ^2 T - \frac{{\rho c}}{k}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} = \frac{h}{k}\left( {T - T_0 } \right)S $
in cui $ \rho $ è la densità della sbarra, $ c $ il calore specifico, $ k $ la conducibilità termica , $ h $ la conducibilità termica esterna, $ T_0 $ la temperatura dell'ambiente(supposta costante) e $ S $ la superficie laterale della sbarra.
Qualcuno ha per caso idea di come si risolva quell'equazione differenziale a derivate parziali???

[stud]

il triangolo che significa?

[Pablo_]

Scusate penso di aver sbagliato nel scrivere l'equazione di diffusione. Al posto di $ \frac{h}{k}\left( {T - T_0 } \right)S $ dovrebbe esserci $ \displaystyle \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\frac{h}{k}\left( {T - T_0 } \right)St} \right) = \frac{h}{k}S\left( {t\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + T - T_0 } \right) $.

$ \nabla ^2 $ è il laplaciano.

[BMcKmas]

Qualcuno ha per caso idea di come si risolva quell'equazione differenziale a derivate parziali???

Ci puoi dare un'idea del livello di preparazione da cui parti?
Se sei liceale ti consiglio di aspettare un po' prima di cimentarti con tale problema (diciamo ameno il primo anno di università, se non i primi due). Comunque, per tornare al problema, se la barra è sottile, puoi considerare una sola coordinata spaziale.
Inoltre, per avere la soluzione (unica) devi definire le condizioni di riscaldamento: cosa fa il bunsen? Tipiche condizioni sono:
1) impone la temperatura dell'estremo
2) impone la temperatura della fiamma ed è dato il coefficiente di scambio termico con l'estremo

[SkZ]

il triangolo che significa?

in pratica l'operatore nabla e' il gradiente: operatore vettoriale ove la componenete i-esima e' la derivata rispetto alla i-esima coordinata spaziale

[Pablo_]

Sono del primo anno di università e ho questo esperimento come esperienza di laboratorio.
In sostanza il becco Bunsen rende costante la temperatura all'estremo. Mi rendo conto che la legge di Newton per il raffreddamento non si può utilizzare per stimare la dissipazione, dal momento che la sbarra di laboratorio raggiunge temperature di $ 300^\circ C $. Ho chiesto e mi è stato consigliato di considerare trascurabili le dissipazioni, perchè sennò il problema diventerebbe troppo complicato per essere trattato analiticamente.
Riformulo il problema: qual è la soluzione dell'equazione differenziale $ \nabla ^2 T = \frac{{\rho c}}{k}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} $, nel caso del riscaldamento e nel caso del raffreddamento, cioè quando raggiunto il regime stazionario levo il becco bunsen?
Ho studiato un po' il problema, e se ho capito bene la soluzione generale di quell'equazione è una serie di integrali, che si può troncare a una somma finita di termini a seconda del grado di approssimazione che si vuole ottenere.
Eppure in un precedente problema avevo risolto la stessa identica equazione, e la soluzione veniva una gaussiana rispetto alla x di equazione:
$ \displaystyle T\left( {x,t} \right) = \frac{1}{{\sqrt {4\pi Dt} }}e^{ - \frac{{x^2 }}{{4Dt}}} $
probabilmente perchè avevo utlizzato condizioni al contorno diverse....Se adattassi l'equazione di diffusione alle mie condizioni al contorno che relazione verrebbe???
Dimenticavo:la sbarra è sottile e abbastanza lunga.

[(|Shineon|)]

L'equazione che hai scritto te è L' Equazione di Diffusione. La soluzione da te proposta è La soluzione analitica ovvero una gaussiana il cui scarto quadratico medio è lineare nel tempo. Ovvero la tua gaussiana all'aumentare del tempo tende a sbracarsi sempre di più, fino al limite per t che tende a infinito in cui diviene una costante (ovvero credo che hai raggiunto l'equilibrio termico). La soluzione è ottenibile trasformando secondo Fourier (nello Spazio!!) ambo i membri della tua equazione. La trasformata di Fourier della derivata seconda di una funzione è pari alla trasformata della funzione stessa per un fattore -k^2 (con k variabile dello spazio reciproco). A questo punto hai una banale EDO nel primo ordine nel tempo che ha come soluzione una gaussiana nello spazio reciproco con sigma inversamente proporzionale al tempo. Dato che a te interessa la soluzione nello spazio reale antitrasformi: ma la trasformata di una gaussiana è una gaussiana con deviazione invertita. Da qui ottieni che la soluzione generale è per l'appunto una gaussiana con deviazione direttamente proporzionale al tempo come si voleva dimostrare.

Il tuo problema nel caso stazionario è risolubile invece in teoria della risposta lineare ed è ben descritto da una comune equazione del trasporto: cioè flusso di calore proporzionale al gradiente di temperatura (Spaziale) secondo un coefficiente chiamato conducibilità termica. La conducibilità termica per un metallo è proporzionale al calore specifico a volume costante al valore quadratico medio della velocità dei portatori e al tempo medio delle collisioni per i portatori per un terzo. (Ti ricordo che la velocità media non è nulla poichè il sistema è esposto a un campo esterno di temperatura se esso fosse assente ovviamente varrebbe esattamente 0). Ti invito a fare una stima della conducibilità termica sapendo che a T ambiente il tempo di collisione medio è 10^-14 secondi. Sempre come riflessione, ti invito a informarti sulla legge di Wiedemann frantz che ti potrebbe essere utile per determinare classicamente il valore di tale coefficiente.[/tex]