trovare tutti gli n naturali tali che esiste una permutazione $ \sigma:\{1\dots n\}\rightarrow\{1\dots n\} $ tale che:
$ \displaystyle \sqrt{\sigma(1)+\sqrt{\sigma(2)+\sqrt{\cdots+\sqrt{\sigma(n)}}}} $ e' un numero razionale
Balkan07 - problema3
Re: Balkan07 - problema3
Visto che in questo periodo sto facendo solo TdN..
poniamo $ \displaystyle f(i)=\sqrt{\sigma(n+1-i)+\sqrt{\cdots+\sqrt{\sigma(n)}}} $
Supponiamo $ f(n)\in\mathbb{Q} $
La radice di un irrazionale positivo e' un irrazionale positivo, quindi tutti gli f(i) sono razionali. Inoltre la radice di un intero, se e' razionale, e' anche intera, per cui tutti gli f(i) sono interi.
Poniamo $ n=a^2+b $ con $ a,b\in\mathbb{Z} $ tali che $ 0\le b \le 2a $
Ora dimostriamo per induzione che $ f(i)\le a+1 $
$ f(1)\le a $ e quindi il passo base e' fatto.
$ f(i+1)=\sqrt{\sigma (n-i)+f(i)}\le \sqrt{a^2+b+a+1}<a+2 $ e abbiamo risolto anche il passo induttivo.
Ora f(i)=1 per al massimo un valore i, ovverosia, eventualmente, i=0. Quindi, posto $ F=\{ f(i)|2\le i \le n-1 \} $ abbiamo $ |F|=n-2 $
Ma in F ci sono al piu' $ a $ elementi distinti (i numeri interi compresi tra $ 2 $ e $ a+1 $), quindi esiste un valore k tale che f(i)=k per almeno $ \lceil \frac{a^2+b-2}{a}\rceil $ valori $ i $ distinti.
Se $ \frac{a^2+b-2}{a}>a $ allora l'equazione f(i)=k ha almeno a+1 soluzioni, per cui ne esistono almeno due, chiamiamole $ i_1 $ e $ i_2 $, tali che $ f(i_1+1)=f(i_2+1) $. Ma allora $ \sigma (n-i_1)=\sigma (n-i_2) $, assurdo.
Quindi $ \frac{a^2+b-2}{a}\le a $ ovvero $ b\le 2 $
Per n>4 abbiamo $ \frac{a^2+b-2}{a} > a-1 $ e quindi $ \lceil \frac{a^2+b-2}{a}\rceil =a $ per cui siccome ad ogni valore i che soddisfa f(i)=k deve seguire un f(i+1) diverso, dobbiamo prendere un k tale che $ k+\sigma (n-i)=c^2 $ ha soluzione per ogni $ 2\le c\le a+1 $
Quindi $ k+1\le 4 $ e $ k+n\ge (a+1)^2 $ combinando le quali ricavo $ 3+a^2+b\ge a^2+2a+1 $ ovverosia $ b\ge 2a-2 $
Sopra avevamo dimostrato che $ b\le 2 $ per cui $ 2\ge 2a-2 $ quindi $ a\le 2 $
Da questo segue che, se esiste un valore n tale che $ \displaystyle \sqrt{\sigma(1)+\sqrt{\sigma(2)+\sqrt{\cdots+\sqrt{\sigma(n)}}}} $ e' un numero razionale, allora questo valore n e' compreso tra 1 e 6. Faccio un'analisi esaustiva e trovo che le uniche soluzioni sono 1 e 3.
(considerando quanto ci ho messo, complimentoni a chi lo ha fatto in gara....)
poniamo $ \displaystyle f(i)=\sqrt{\sigma(n+1-i)+\sqrt{\cdots+\sqrt{\sigma(n)}}} $
Supponiamo $ f(n)\in\mathbb{Q} $
La radice di un irrazionale positivo e' un irrazionale positivo, quindi tutti gli f(i) sono razionali. Inoltre la radice di un intero, se e' razionale, e' anche intera, per cui tutti gli f(i) sono interi.
Poniamo $ n=a^2+b $ con $ a,b\in\mathbb{Z} $ tali che $ 0\le b \le 2a $
Ora dimostriamo per induzione che $ f(i)\le a+1 $
$ f(1)\le a $ e quindi il passo base e' fatto.
$ f(i+1)=\sqrt{\sigma (n-i)+f(i)}\le \sqrt{a^2+b+a+1}<a+2 $ e abbiamo risolto anche il passo induttivo.
Ora f(i)=1 per al massimo un valore i, ovverosia, eventualmente, i=0. Quindi, posto $ F=\{ f(i)|2\le i \le n-1 \} $ abbiamo $ |F|=n-2 $
Ma in F ci sono al piu' $ a $ elementi distinti (i numeri interi compresi tra $ 2 $ e $ a+1 $), quindi esiste un valore k tale che f(i)=k per almeno $ \lceil \frac{a^2+b-2}{a}\rceil $ valori $ i $ distinti.
Se $ \frac{a^2+b-2}{a}>a $ allora l'equazione f(i)=k ha almeno a+1 soluzioni, per cui ne esistono almeno due, chiamiamole $ i_1 $ e $ i_2 $, tali che $ f(i_1+1)=f(i_2+1) $. Ma allora $ \sigma (n-i_1)=\sigma (n-i_2) $, assurdo.
Quindi $ \frac{a^2+b-2}{a}\le a $ ovvero $ b\le 2 $
Per n>4 abbiamo $ \frac{a^2+b-2}{a} > a-1 $ e quindi $ \lceil \frac{a^2+b-2}{a}\rceil =a $ per cui siccome ad ogni valore i che soddisfa f(i)=k deve seguire un f(i+1) diverso, dobbiamo prendere un k tale che $ k+\sigma (n-i)=c^2 $ ha soluzione per ogni $ 2\le c\le a+1 $
Quindi $ k+1\le 4 $ e $ k+n\ge (a+1)^2 $ combinando le quali ricavo $ 3+a^2+b\ge a^2+2a+1 $ ovverosia $ b\ge 2a-2 $
Sopra avevamo dimostrato che $ b\le 2 $ per cui $ 2\ge 2a-2 $ quindi $ a\le 2 $
Da questo segue che, se esiste un valore n tale che $ \displaystyle \sqrt{\sigma(1)+\sqrt{\sigma(2)+\sqrt{\cdots+\sqrt{\sigma(n)}}}} $ e' un numero razionale, allora questo valore n e' compreso tra 1 e 6. Faccio un'analisi esaustiva e trovo che le uniche soluzioni sono 1 e 3.
(considerando quanto ci ho messo, complimentoni a chi lo ha fatto in gara....)
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)