calcolare somma di simboli di legendre

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Sia p un primo dispari. Poniamo:

$ \displaystyle\left(\frac{a}{p}\right)=0 $ se $ p|a $

Se (a,p)=1 invece:

$ \displaystyle\left(\frac{a}{p}\right)=1 $ se $ a $ e' un residuo quadratico mod p.

$ \displaystyle\left(\frac{a}{p}\right)=-1 $ se $ a $ non e' un residuo quadratico mod p.


Determinare quanto vale:

$ \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right) \left(\frac{i+1}{p}\right) $

[HiTLeuLeR]

Criterio di Eulero, proprietà moltiplicative del simbolo di Legendre e teorema del binomiale di Newton suggeriscono che

$ \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i+1}{p}\right)\left(\frac{i}{p}\right) \equiv \sum_{i=1}^{p-1} (i^2 + i)^{(p-1)/2}\equiv $$ \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1}\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{(p-1)/2}{k} i^{p-1-k} \bmod p $.

Se adesso $ S $ denota la sommatoria ad ultimo membro, banalmente $ S \equiv - 1\bmod p $. Basta, infatti, applicare un lemma assai notevole che già in un'altra occasione, di recente, raccomandavo a qualcuno di tenere sempre a mente.

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Criterio di Eulero, proprietà moltiplicative del simbolo di Legendre e teorema del binomiale di Newton suggeriscono che

$ \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i+1}{p}\right)\left(\frac{i}{p}\right) \equiv \sum_{i=1}^{p-1} (i^2 + i)^{(p-1)/2}\equiv $$ \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1}\sum_{k=0}^{(p-1)/2}\binom{(p-1)/2}{k} i^{p-1-k} \bmod p $.

Se adesso $ S $ denota la sommatoria ad ultimo membro, banalmente $ S \equiv - 1\bmod p $. Basta, infatti, applicare un lemma assai notevole che già in un'altra occasione, di recente, raccomandavo a qualcuno di tenere sempre a mente.

Uhm, o anche, senza usare il tuo lemma:

$ \displaystyle\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{i+1}{p}\right)\left(\frac{i}{p}\right) =\sum_{i=1}^{p-1} \left(\frac{1+1/i}{p}\right)=\sum_{i=0}^{p-1} \left(\frac{i}{p}\right)-\left(\frac{1}{p}\right)=-1 $.