x^2=y^n-1

[piever]

Trovare tutte le soluzioni non banali $ x,y,n\in\mathbb{N} $ di:

$ x^2=y^n-1 $

Buon lavoro!

Per chi non lo avesse notato, e' una generalizzazione di questo

[Boll]

Per il teorema di Mihailescu, le uniche due potenze consecutive sono 9 e 8.

[HiTLeuLeR]

Per il teorema di Mihailescu, le uniche due potenze consecutive sono 9 e 8.

Senonché in questa sezione - da quel che ricordo - è fortemente sconsigliato persino il ricorso al postulato di Bertrand...

[Ponnamperuma]

Però! Curioso che il signor Mihailescu salti fuori ben due volte in così pochi giorni!
[vedi viewtopic.php?t=8183]

[Sherlock]

Gia...ed è anche curioso che io l'abbia beccato per caso la mattina prima di postare...

[piever]

Visto che questo lemma fa parte della dimostrazione del teorema di Mihailescu, che tanto vi affascina, potete anche provare a risolverlo...

Dopotutto e' per quello che lo ho postato..

[jordan]

Trovare tutte le soluzioni non banali $ x,y,n\in\mathbb{N} $ di:

$ x^2=y^n-1 $

Da qui:

[...]Modulo 4 vediamo che 2|x, cosicchè nell'anello euclideo $ [tex] $Z[/tex] i termini $ x+i $ e $ x-i $ sono coprimi, i.e. entrambi cubi perfetti. Per cui esistono $ (a,b) \in \mathbb{Z}^2 $ t.c. $ (a+bi)^3=x+i $. Comparando il termine in $ i $ otteniamo l'unica soluzione $ (a,b)=(0,-1) $ da cui l'unica soluzione in $ (x,y)=(0,1) $.
Problema alternativo, con identica soluzione: Mostrare che 26 è l'unico intero compreso tra un quadrato e un cubo.

Nota aggiunta dopo il link di piever: se $ x^2+1=y^n $ allora $ 2|x $ (infatti assumendo il contrario avremmo $ 4|y^n-2 $, assurdo). Da qui si conclude indenticamente a prima.