Definita la successione
$ x_1=2 $
$ nx_n=2(2n-1)x_{n-1} $ per $ n\ge 2 $
Dimostrare che sono tutti interi!
P.S. Non so se venga per induzione, credo di sì, ma c'è la soluzione bellina
Successione mascherata!
Successione mascherata!
Un problemino caruccio dal solito stage di Parma... Fra quelli a premi "solo per non ori" è quello che ho trovato più carino...
Definita la successione
$ x_1=2 $
$ nx_n=2(2n-1)x_{n-1} $ per $ n\ge 2 $
Dimostrare che sono tutti interi!
P.S. Non so se venga per induzione, credo di sì, ma c'è la soluzione bellina
Definita la successione
$ x_1=2 $
$ nx_n=2(2n-1)x_{n-1} $ per $ n\ge 2 $
Dimostrare che sono tutti interi!
P.S. Non so se venga per induzione, credo di sì, ma c'è la soluzione bellina
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Dobbiamo dimostrare che per ogni termine $ n|x_n $
Ovviamente ogni termine è multiplo dei termini precedenti.
Abbiamo quindi che $ x_n|x_{2n-1} $
Poichè $ 2n-1|x_n $ si avrà che $ 2n-1|x_{2n-1} $
Quindi tutti i termini dispari della successione sono interi.
Per i termini pari, dimostriamo x induzione che se xn è multiplo di n allora x(2n) è multiplo di 2n.
Passo base = x1 è multiplo di 1.
Passo induttivo:
$ x_{2n}=2(2n-1)x_{2n-1} $
Per quanto detto prima, $ x_n|x_{2n-1} $
Quindi
$ x_{2n-1}=kx_n $ per un determinato valore di k
Sostituendo avremo:
$ x_{2n}=k(2n-1)2x_n $
Poichè $ x_n $ è multiplo di n avremo che $ x_{2n} $ sarà multiplo di 2n.
Quindi anche i termini pari sono interi.
Ovviamente ogni termine è multiplo dei termini precedenti.
Abbiamo quindi che $ x_n|x_{2n-1} $
Poichè $ 2n-1|x_n $ si avrà che $ 2n-1|x_{2n-1} $
Quindi tutti i termini dispari della successione sono interi.
Per i termini pari, dimostriamo x induzione che se xn è multiplo di n allora x(2n) è multiplo di 2n.
Passo base = x1 è multiplo di 1.
Passo induttivo:
$ x_{2n}=2(2n-1)x_{2n-1} $
Per quanto detto prima, $ x_n|x_{2n-1} $
Quindi
$ x_{2n-1}=kx_n $ per un determinato valore di k
Sostituendo avremo:
$ x_{2n}=k(2n-1)2x_n $
Poichè $ x_n $ è multiplo di n avremo che $ x_{2n} $ sarà multiplo di 2n.
Quindi anche i termini pari sono interi.
$ \displaystyle x_n = \frac{2^n \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2n-1)}{n!} $
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2n-1)}{n!} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} $
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (2n)!}{n! \cdot (2 \cdot 1)(2 \cdot 2)(2 \cdot 3)\cdots (2 \cdot n)} $
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (2n)!}{2^n n! n!} $
$ \displaystyle = \frac{2n!}{n!n!} = {2n \choose n} $
che è per forza intero.
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 2n-1)}{n!} \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} $
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (2n)!}{n! \cdot (2 \cdot 1)(2 \cdot 2)(2 \cdot 3)\cdots (2 \cdot n)} $
$ \displaystyle = \frac{2^n \cdot (2n)!}{2^n n! n!} $
$ \displaystyle = \frac{2n!}{n!n!} = {2n \choose n} $
che è per forza intero.