Limite di funzione

[korkey]

Salve,

ho questa funzione: f(x)=$ e^x-x $ devo calcolarne il limite:

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} {e^x-x} $ che è una forma indeterminata

Svolgo:

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} e^x({1-\frac{x}{e^x}}) $

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{1-\frac{x}{e^x}}{\frac{1}{e^x}} $

applico De L'Hôpital ed ho:

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} {-e^x+xe^x} $

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} e^x({-1+x}) $

$ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{-1+x}{\frac{1}{e^x}}=+\infty $

E' corretto il mio svolgimento??

[DarkSepiroth]

Più semplicemente, secondo me puoi sfruttare il fatto che per $ x > x_{0} $ (che può essere calcolato facilmente), $ e^{x} > x^2 $, inoltre per $ x > 0 $ la funzione $ f(x)=e^{x} - x $ è sempre positiva perchè $ f'(x)>0 $ per ogni $ x>0 $ e $ f(0) = 1 $. Quindi possiamo tranquillamente stimare questa funzione che è positiva sulla semiretta delle x positive, che è quella che ci interessa per calcolare il limite. Abbiamo infatti $ e^{x} - x > x^{2} - x $, questa disuguaglianza passa (allargandosi al maggiore uguale) al limite per cui
$ lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) >= lim_{x \rightarrow + \infty} x^2 - x $.

Ma $ lim_{x \rightarrow + \infty} x^2 - x = lim_{x \rightarrow + \infty} x(x - 1/x) = + \infty $.
Senza complicarsi la vita con l'Hopital di cui è bene non fidarsi...

[TADW_Elessar]

Sì, come fa notare DS, basta considerare che si ha:

$ e^x > x^2 \qquad \forall x \in \mathbb{R^+} $ e quindi
$ e^x - x > x^2 - x $ per ogni $ ~x $ in un intorno di $ ~+\infty $, almeno in $ (0, +\infty) $.

Ora, il terzo teorema del confronto ci assicura che:

$ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x^2 - x = +\infty \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} e^x - x = +\infty $

[SkZ]

volendo ci si puo' basare sul fatto che per $ ~x>0 $ $ ~f>0 $ $ ~f'>0 $ e $ ~f''>0 $ (piu' che altro $ ~f^{(n)}>0 $)

[korkey]

Qualcuno potrebbe darmi gentilmente un chiarimento su questa derivata:

$ \displaystyle\sqrt[9]{(3x-2)^8} $

Io faccio così:

$ \displaystyle\frac{1}{9\sqrt[9]{(3x-2)^8}}*8(3x-2)^7*3 $ , ma non è corretto perchè mi trovo un $ (3x-2)^7 $ di troppo. Però mi risulta che dopo aver fatto la derivata della radice devo svolgere la derivata di quello che è sotto radice, o sbaglio??

Infatti se la svolgo così:

$ \displaystyle\((3x-2)^\frac{8}{9} $

ho: $ \displaystyle\frac{8}{9}*(3x-2)^\frac{-1}{9}*3 $ e questa è corretta!!
dove sbaglio??

[DarkSepiroth]

Io faccio così:

, ma non è corretto perchè mi trovo un di troppo. Però mi risulta che dopo aver fatto la derivata della radice devo svolgere la derivata di quello che è sotto radice, o sbaglio??

Dunque dunque, fondamentalmente non mi è chiaro quale regola di derivazione tu stia usando qui...per le potenze reali di una funzione, come poi usi dopo, esiste soltanto la regola
$ ( (f(x))^{\gamma} ) ' = \gamma (f(x)^{\gamma - 1} ) f'(x) $ per ogni $ \gamma \in \mathbb{R} $. (dove in questo caso $ f(x) = 3x-2 $ e $ \gamma = 8/9 $)

[korkey]

Io faccio così:

, ma non è corretto perchè mi trovo un di troppo. Però mi risulta che dopo aver fatto la derivata della radice devo svolgere la derivata di quello che è sotto radice, o sbaglio??

Dunque dunque, fondamentalmente non mi è chiaro quale regola di derivazione tu stia usando qui...per le potenze reali di una funzione, come poi usi dopo, esiste soltanto la regola
$ ( (f(x))^{\gamma} ) ' = \gamma (f(x)^{\gamma - 1} ) f'(x) $ per ogni $ \gamma \in \mathbb{R} $. (dove in questo caso $ f(x) = 3x-2 $ e $ \gamma = 8/9 $)

ok questo è il caso in cui la considero in questa forma:

$ \displaystyle\((3x-2)^\frac{8}{9} $

ma se la volessi svolgere nella forma:

$ \displaystyle\sqrt[9]{(3x-2)^8} $

non dovrei\potrei usare la regola:

$ \displaystyle\sqrt[n]{x} $=$ \frac{1}{n\sqrt[n]{x^(n-1)}} $

tenendo presente che però nel mio caso non è x, ma f(x), cioè:

$ \displaystyle\sqrt[n]{f(x)} $=$ \displaystyle\frac{1}{n\sqrt[n]{f(x)}}*f'(x) $
il mio f(x)=$ (3x-2)^8 $ e f'(x)=$ 8(3x-2)^7*3 $

Capito?? non riesco a capire l'errore, mi sembra tutto coerente con le regole però...

[moebius]

ti sei perso un ^(n-1) nella radice quando fai la derivata...

[korkey]

ti sei perso un ^(n-1) nella radice quando fai la derivata...

Si giusto, grazie!!
Però il problema mi resta!

[moebius]

Non capisco...

$ \displaystyle\left(\sqrt[n]{f(x)}\right)'=\frac{1}{n\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}f'(x) $

se $ f(x)=(3x-2)^8 $ allora $ f'(x)=3\cdot8\cdot(3x-2)^7=24(3x-2)^7 $ e quindi:

$ \displaystyle\left(\sqrt[9]{(3x-2)^8}\right)'=24\frac{1}{9\sqrt[9]{((3x-2)^8)^{8}}}(3x-2)^7=8\frac{(3x-2)^7}{3\sqrt[9]{(3x-2)^{64}}}= $
$ \displaystyle=\frac{8}{3}\sqrt[9]{\frac{(3x-2)^{63}}{(3x-2)^{64}}}=\frac{8}{3\sqrt[9]{3x-2}} $

che è la soluzione che tu dici essere giusta...

[DarkSepiroth]

non dovrei\potrei usare la regola:

=

tenendo presente che però nel mio caso non è x, ma f(x), cioè:

=

Vabè, ci tengo a precisare che a meno di rinominare le cose, la regola che stai usando è sempre quella che ho scritto, che vale più in generale...comunque, i conti tornano perchè secondo il tuo procedimento ottieni:

$ (\sqrt[9]{(3x-2)^8})' = \frac{1}{9}* \frac{1}{\sqrt[9]{(3x-2)^{8*8}}} 8* (3x-2)^7 *3 $= $ 24* \frac{1}{9} *(3x-2)^{\frac{-64}{9}+7} $= $ \frac{24}{9}* (3x-2)^{ \frac{-1}{9}} $ che è lo stesso risultato ottenuto con il metodo più veloce...

[MateCa]

Dunque, ho capito coa c'è di sbagliato, vediamo se riesco a spiegarmi...

In realtà la correzione di moebius corregge già il problema:
tu vuoi derivare $ \sqrt[9]{f(x)} $ dove $ f(x)=(3x-2)^8 $

A questo punto appilico la formula di derivazione della radice e quindi ottengo $ \frac{1}{9\sqrt[9]{((3x-2)^8)^8}} $
ora mi resta da derivare la $ f(x) $, ovvero $ f(x)=(3x-2)^8 $: la derivata vale $ 8(3x-2)^7 *3 $
La derivata finale è quindi $ \frac{1}{9\sqrt[9]{((3x-2)^8)^8}}8(3x-2)^7 *3 $=$ \frac{8}{3\sqrt[9]{(3x-2)}}} $
Come tutti stanno cercando di spiegarti, il problerma è che nella radice al denominatore ci sono DUE esponenti 8, uno per la radice e uno per la tua $ f(x) $...

Spero di essere stato chiaro

[korkey]

ahhhhh ho capito!!
sbagliavo ad interpretare la derivata di $ \displaystyle\sqrt[n]{x} $

perchè nel mio caso ho $ \displaystyle\sqrt[n]{x^m} $

e quindi f'(x) e uguale: $ \displaystyle\frac{1}{n\sqrt[n]{(x^m)^{n-1}}}*mx^{m-1} $ Così giusto?


Io invece consideravo $ \displaystyle\frac{1}{9\sqrt[9]{(3x-2)^{9-8}}}*8(3x-2)^7*3 $
Grazie 1000!!