uhm.. questo rilancio mi era sfuggito!edriv ha scritto:Rilancio: dimostrare che esiste un sottoinsieme denso, senza tre punti allineati, e di cartinalità del continuo.
siccome non mi viene come formalizzare una costruzione esplicita (grr
), io userei... induzione transfinita!tanto per levarmi i problemi di densità, esibisco prima un numerabile denso, tale però che la proiezione sulla prima coordinata sia quasi-iniettiva (nel senso che in ogni fibra ci siano al più due punti) (*): a questo punto, benenumero $ \mathbb{R} $ (mettendolo in bigezione con il cardinale $ \mathfrak{c} $ a lui equipotente) di modo che la numerazione ristretta ad $ \omega $ coincida con la numerazione dei razionali fatta.
a questo punto, il gioco è fatto: dato $ \alpha $ ordinale, e fissati al più due punti su $ \{x_\beta\}\times\mathbb{R} $ per ogni $ \beta\le\alpha $, scegliamo (al più) due punti su $ \{x_{\alpha+1}\}\times\mathbb{R} $ di modo che non appartengano a nessuna retta passante per i coppie di punti precedenti: possiamo sceglierne, perché la cardinalità delle coppie di punti già scelte (che è maggiore o uguale alla cardinalità dei punti di intersezione su $ \{x_{\alpha+1}\}\times\mathbb{R} $) è minore o uguale a $ |\alpha+1| < \mathfrak{c} = |\mathbb{R}| $.
adesso, per toglierci lo sfizio degli ordinali limite, facciamo esattamente la stessa costruzione, eliminando i punti che stanno sulle rette individuate dalla coppie di punti già scelti.
direi che questo ci assicura la vittoria...
(*) posso farlo, chiedendolo direttamente, passo per passo, nella costruzione fatta con le circonferenze concentriche, oppure modificando la stessa nel seguente modo: invece di prendere $ n $ punti, ne prendo $ p_n $, dove i $ p_n $ sono una successione crescente di primi, e fissando uno dei vertici del $ p_n $-agono regolare, precisamente quello che sta sulla semiretta che fa un angolo di $ 2\pi/p_n $ (in senso antiorario) col la semiretta $ x\ge0 $.
ruotando "di poco" la configurazione (sempre passo passo), si può anche ottenere l'iniettività della proiezione.
