Quando mai M è punto medio?

[enomis_costa88]

ABC è un triangolo.
La circonferenza per A e B incontra i lati AC e BC in D ed E rispettivamente.
Le rette AB e DE si incontrano in F.
Le rette BD e CF si incontrano in M.
Dimostrare che M è il punto medio di CF sse $ MB \cdot MD=MC^2 $

Buon lavoro!

[Sherlock]

Sei sicuro di aver scritto tutto giusto?

[marco-daddy]

Sei sicuro di aver scritto tutto giusto?

Si, è tutto ok

[claudiothe2nd]

scusate, ma ho una grande carenza nella formalizzazione, quindi ogni commento è bene accetto...

poniamo che una relazione come MD*MB=MC*MC sia valida per qualsiasi triangolo con due vertici appartenenti alla circonferenza, quindi tralasciando la condizione che M debba essere il punto medio di CF.
allora vedremo che prendendo in considerazione il triangolo EBF si può scrivere l'equazione MD*MB=MF*MF.
ma allora si arriverebbe ad un assurdo, a meno che MF*MF non sia uguale a MC*MC. E quindi MF dev'essere uguare a MC perchè la relazione sia valida.

non dimostro mai per assurdo, quindi non saprei se il procedimento sia corretto formalmente...

[Ponnamperuma]

[Aiuto (spero) sulla formalizzazione]:
In problemi di "se e solo se" devi dimostrare la tesi in entrambi i versi, cioè
1. Se M è il punto medio di CF allora vale la relazione
2. Se vale la relazione allora M è il punto medio di CF

Tipicamente una delle due è facile, l'altra no... Ad occhio direi che la 1. si verifica molto rapidamente...
Per la seconda imposterei così: suppongo per assurdo che M non sia punto medio di CF, allora bla bla bla e trovo che vale la relazione $ MD\cdot MB=MF\cdot MF \neq MC\cdot MC $, assurdo... Dunque M deve essere punto medio di CF, q.e.d.

[\Aiuto (spero) sulla formalizzazione]

P.S.: Ah, quel "vedremo che si può scrivere l'equazione..." andrebbe giustificato con un minimo di dettaglio in più... per essere formali...

[claudiothe2nd]

grazie!!

arriverò prima o poi a farle complete!!