Dall’Hojoo Lee:
Trovare tutti gli interi positivi m,n tali che:
$ 6m|(3+m)^n+1 $
Buon lavoro!
6m|(3+m)^n+1
6m|(3+m)^n+1
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
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exodd
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qualcuno lo spiega ke è $ | $??!!
Tutto è possibile: L'impossibile richiede solo più tempo
in geometry, angles are angels
"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
julio14 ha scritto: jordan è in realtà l'origine e il fine di tutti i mali in $ \mathbb{N} $
ispiratore del BTAEvaristeG ha scritto:Quindi la logica non ci capisce un'allegra e convergente mazza.
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"la traslazione non è altro che un'omotetia di centro infinito e k... molto strano"
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darkcrystal
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- Località: Chiavari
Dunquedunque... considerazioni normali sui moduli che sono più conti che altro (e quindi non posto, perchè sono un pelandrone nato 
) ci dicono che
$ n $ è dispari, $ m \equiv 4 \pmod 8 $, e, posto $ m=4d, d \equiv 1 \pmod 2, d \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow d \equiv 5 \pmod 6 $
LEMMA. $ 3^n+1 $ non ha divisori della forma $ 6k+5 $, se n è dispari.
Poniamo infatti $ 3^n=3 \cdot q^2 $, e sia $ p $ un primo che lo divide: otteniamo $ 3q^2 \equiv -1 \Rightarrow (3q)^2 \equiv -3 \pmod p $. Dunque -3 è un residuo quadratico modulo p. Dalla legge di reciprocità quadratica e dalle proprietà di Legendre abbiamo $ (\frac{p}{3})(\frac{3}{p})=(-1)^{(p-1)(3-1)/4 \Rightarrow $$ (\frac{-1}{p})(\frac{-3}{p})(\frac{p}{3})=(-1)^{(p-1)/2} \Rightarrow $$ (-1)^{(p-1)/2} \cdot 1 \cdot (\frac{p}{3})=(-1)^{(p-1)/2} \Rightarrow (\frac{p}{3})=1 $.
Perciò p è un residuo quadratico modulo 3, e non può essere congruo a 2 mod 3.
Dunque è della forma $ 6k+1 $ (oppure è 2, ok...)
Ne viene che $ d|3^n+1, d \equiv 5 \pmod 6 $, ma $ 3^n+1 $ non ha fattori congrui a 5 modulo 6, assurdo. Dunque non esistono (m,n), o almeno lo spero
Ciao!
) ci dicono che$ n $ è dispari, $ m \equiv 4 \pmod 8 $, e, posto $ m=4d, d \equiv 1 \pmod 2, d \equiv 2 \pmod 3 \Rightarrow d \equiv 5 \pmod 6 $
LEMMA. $ 3^n+1 $ non ha divisori della forma $ 6k+5 $, se n è dispari.
Poniamo infatti $ 3^n=3 \cdot q^2 $, e sia $ p $ un primo che lo divide: otteniamo $ 3q^2 \equiv -1 \Rightarrow (3q)^2 \equiv -3 \pmod p $. Dunque -3 è un residuo quadratico modulo p. Dalla legge di reciprocità quadratica e dalle proprietà di Legendre abbiamo $ (\frac{p}{3})(\frac{3}{p})=(-1)^{(p-1)(3-1)/4 \Rightarrow $$ (\frac{-1}{p})(\frac{-3}{p})(\frac{p}{3})=(-1)^{(p-1)/2} \Rightarrow $$ (-1)^{(p-1)/2} \cdot 1 \cdot (\frac{p}{3})=(-1)^{(p-1)/2} \Rightarrow (\frac{p}{3})=1 $.
Perciò p è un residuo quadratico modulo 3, e non può essere congruo a 2 mod 3.
Dunque è della forma $ 6k+1 $ (oppure è 2, ok...)
Ne viene che $ d|3^n+1, d \equiv 5 \pmod 6 $, ma $ 3^n+1 $ non ha fattori congrui a 5 modulo 6, assurdo. Dunque non esistono (m,n), o almeno lo spero
Ciao!
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
Membro dell'EATO
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