Polinomi e trigonometria

[Ponnamperuma]

Propongo questo simpatico problema sui polinomi, di origine statunitense, da un MockAIME...

Siano $ x_1,x_2,x_3 $ le radici del polinomio $ x(x-200)(4x+1)=1 $.
Sia poi $ \omega $ tale che $ \omega=\tan^{-1}x_1+\tan^{-1}x_2+\tan^{-1}x_3 $.
Il valore di $ \tan\omega $ può essere scritto come $ \frac{m}{n} $, dove $ m,n\in\mathbb{N} $ e $ (m,n)=1 $. Determinare $ m+n $.

Buon lavoro!

[elianto84]

Viete's Power!

$ \tan\omega=\tan(\arctan x_1 + \arctan x_2 + \arctan x_3)=\frac{-x_1 x_2 x_3 + \sum_{cyc}x_i}{1-\sum_{cyc}x_i x_j} $$ =\frac{133}{34} $
$ m+n=167 $

[Ponnamperuma]

Non ricordo or ora il risultato, ma l'espressione che hai trovato per $ \tan\omega $ è sacrosanta... Magari potrebbe interessare come si ricava...
Per comodità pongo $ \arctan x_1=a,\arctan x_2=b,\arctan x_3=c $. Dopo di che provo a vedere cosa salta fuori facendo $ \tan(a+b+c)=\tan((a+b)+c) $ e... magia: trovo tangenti di arcotangenti, da cui la meravigliosa semplificazione... provare per credere!