Ai denominatori mancano degli a_i!!! [Inequality form Parma]

[salva90]

Siano $ a_1, a_2, \dots, a_n $ $ (n\ge 2) $ numeri reali positivi tali che $ \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i=1 $. Dimostrare che

$ \displaystyle \frac {a_1}{1+a_2+\cdots+a_n}+\frac{a_2}{1+a_1+a_3+\cdots+a_n} $$ \displaystyle +\cdots+\frac{a_n}{1+a_1+\dots+a_{n-1}} $$ \displaystyle\ge\frac{n}{2n-1} $

Trattasi di una disuguaglianza (stranamente) bellina, originaria della gara a premi di parma (tanto per cambiare ), e risolta da me ieri anche stavolta in pulman, ma al ritorno
Per gli amanti delle disuguaglianze, ma sconsigliata agli iper-tecnici (la teoria che si usa è proprio poca poca)

[darkcrystal]

Ma proprio perchè è carina...
$ \displaystyle LHS = \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{2-a_i} $. Chiamo $ b_i=2-a_i $, dunque $ \displaystyle \sum b_i=2n-1 $.

La tesi si scrive quindi $ \displaystyle \sum \frac{2}{b_i} - \sum 1 \geq \frac{n}{2n-1} \Rightarrow 2 \sum \frac{1}{b_i} \geq \frac{2n^2}{2n-1} $.

Applico $ n/HM \geq n/AM $ alla prima somma, ottenendo $ \displaystyle LHS \geq \frac{2n}{\frac{\sum b_i}{n}} = \frac{2n^2}{\sum b_i} = \frac {2n^2}{2n-1} = RHS $.

Ciau!

[salva90]

Soluzione uguale identica alla mia, solo che i b_i li avevo chiamati k_i