Siccome non mi considero esperto posto la soluzione
Se p \neq 2, 3 abbiamo che p^2 + 11 \equiv 0 \pmod {6}.
Siccome la condizione \tau = 6 significa che ci sono al massimo due primi distinti nella fattorizzazione, nel caso p \neq 2, 3 questi saranno proprio 2 e 3. Inoltre siccome entrambi saranno presenti, dovranno avere uno esponente 2 e l'altro esponente 1, perciò p^2 +11 \leq 18 \to p=2.
Quindi rimangono solo da considerare i casi p = 2, 3: nel primo si ha \tau = 4 mentre nel secondo \tau = 6.
Ultima modifica di giove il 27 mag 2007, 11:32, modificato 2 volte in totale.
salva90 ha scritto:
allora, trovare tutti i primi p tali che $ \tau (p^2+11)=6 $, dove $ \tau(\cdot) $ è la funzione numero di divisori positivi, as usual
Siccome è troppo facile - l'hai detto tu! -, lo ravviviamo un poco. Della serie Generalizzare è fiko:
"Determinare ogni coppia $ (a,q) $ di interi positivi tali che $ q $ sia un primo e $ \tau(a^2 + q) = \frac{1}{2}(q+1) $."
Allora, dato per noto che $ $$ \tau (n) = (e_1 + 1)\cdots (e_k + 1) $ dove $ n = p_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k} $ allora $ p^2 + 11 $ dev'essere del tipo $ p_1p_2^2 $ oppure $ p_1^5 $
Dopo aver notato che 2 non è soluzione, mentre 3 lo è ( 20 ha 6 divisori), si nota che $ p^2 \equiv 1 (mod 6), (mod 4) e , 11 \equiv -1 (mod 6), (mod 4) $ , perciò $ 12 | p^2 + 11 $ quindi non può essere nessuna delle due forme sopra descritte.