[Teoria dei gruppi] Gruppi ciclici e coprimalità

[Ani-sama]

Siano $ $A, B$ $ due gruppi ciclici di ordine rispettivamente $ $m$ $ e $ $n$ $. Sia poi $ $A \times B$ $ l'usuale gruppo prodotto. Allora vale:

$ $A \times B \textrm{ ciclico} \Leftrightarrow \gcd(n,m)=1$ $

Buon divertimento!

[hydro]

Siano A,B gruppi ciclici di ordine m,n>1 (il caso m=1 o n=1 è ovvio). Allora A è isomorfo a $ \mathbb{Z}_m $ e B è' isomorfo a $ \mathbb{Z}_n $
quindi AxB è isomorfo a $ \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n $.

Sia ora $ MCD(m,n)=d \neq 1 $. Supponiamo AxB sia ciclico. Allora $ \exists (x,y) \in \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n $ t.c. il periodo di (x,y) è mn. Poniamo $ m=m_0d $ $ n=n_0d $ allora ogni (a, b) in AxB è tale che $ dm_0n_0(a,b)=(0,0) $ quindi se è d>1 il periodo di ogni elemento è minore di $ mn=d^2m_0n_0 $, copntraddizione

[Ani-sama]

Magari mi sbaglio io, ma mi pare che tu abbia dimenticato di dimostrare il viceversa, cioè se supponi quei due numeri coprimi, allora il gruppo prodotto è ciclico...

Per la cronaca, io sarò pazzo e avrò voluto complicarmi la vita, ma ho trovato una dimostrazione che non ricorre ad alcun isomorfismo...

[hydro]

Hai perfettamente ragione, non ho dimostrato il viceversa consapevolmente perchè ero di fretta, comunque eccolo:

Siano m,n coprimi. Dobbiamo mostrare l'esistenza di un $ (x,y) \in \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n $ t.c. il periodo di (x,y) è mn, ovvero t.c. $ \forall (a,b) \in \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n $ $ \exists r \in \mathbb{Z} $ t.c. $ r(x,y)=(a,b) $, quindi
$ rx \equiv a \mod m $
$ ry \equiv b \mod n $
se prendiamo (x,y)=(1,1) la tesi è equivalente alla risolubilità del sistema
$ r \equiv a \mod m $
$ r \equiv b \mod n $
$ \forall a,b \in \mathbb{Z} $, che è garantita dal teorema cinese del resto in virtù della coprimalità di m ed n. Pertanto (1,1) è un generatore di $ \mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n $

Sfuttare l'isomorfismo con $ \mathbb{Z}_m $ è la strada più veloce che mi è venuta in mente, ma magari la tua soluzione è più elegante... qual è?

[ma_go]

mi è capitato di (far) fare una dimostrazioncina del seguente lemma:

dati due elementi di ordine m ed n (coprimi) in un gruppo abeliano, allora il loro prodotto ha ordine mn.

direi che dal lemma segue la tesi, e anzi risulta facile esibire dei generatori..
comunque, è sostanzialmente un'altra formulazione equivalente del teorema cinese, non dice nulla di nuovo.

per la dimostrazione, basta osservare che l'ordine delle potenze di un elemento fissato divide l'ordine dell'elemento, e applicare questa cosina all'elemento xy, che soddisfa $ (xy)^m = x^m $ (che ha lo stesso ordine di x perché m coprimo con n), e $ (xy)^n = x^n $ (vedi parentesi precedente).

[lukra]

Certo che vi complicate la vita.
Ma cavolo è così semplice considerare i sottogruppi
(A,1) e (1,B) e tutto è banalissimo
Mo vado che sono super impegnato e di corsissima

[EvaristeG]

Certo che vi complicate la vita.
Ma cavolo è così semplice considerare i sottogruppi
(A,1) e (1,B) e tutto è banalissimo
Mo vado che sono super impegnato e di corsissima

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.

[3C273]

Certo che vi complicate la vita.
Ma cavolo è così semplice considerare i sottogruppi
(A,1) e (1,B) e tutto è banalissimo
Mo vado che sono super impegnato e di corsissima

Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi, hanc marginis exiguitas non caperet.

[lukra]

Battuta fuoriluogo.
Infatti la questione è semplicissima.
Se non sono coprimi evidente eliminando il fattore comune
si costruisce un sottogruppo con ordine minore di m*n.

E viceversa se sono coprimi si può costruire il gruppo prodotto
che non ha sottogruppi propri, poichè l'ordine di un sottogruppo
divide l'ordine di un gruppo.
Quindi per forza è ciclico
Non ho detto che avevo fretta, per non fare la dimostrazione.
Ho detto che avevo fretta solo perchè avevo fretta

[moebius]

Cioè in pratica hai detto a parole quello che già è stato detto, con la differenza che quello che è stato detto pria è stato motivato e se leggessimo solo questo ci dovremmo credere per fede...
Fermat non avrebbe saputo fare di meglio

P.S.: Non sto dicendo che il problema sia più complicato di quello che sembra... sto solo dicendo che se devi andare da A a Z, è ovvio che è fai prima partendo da Y.

[lukra]

Cioè in pratica hai detto a parole quello che già è stato detto, con la differenza che quello che è stato detto pria è stato motivato e se leggessimo solo questo ci dovremmo credere per fede...

Certo certo
Fede
Uno, è intuitivo, due ci sono teoremi che affermano questo...
Lagrange, sylow...solo per fare due nomi
e pure quelli molto intuitivi.
Mi riferisco al viceversa

[moebius]

Potresti rifare la tua dimostrazione scrivendo esplicitamente cosa segue dal teorema di Lagrange ma soprattutto cosa segue dai teoremi di Sylow?
Grazie

[lukra]

L'ordine di un sottogruppo
divide l'ordine di un gruppo.
Quindi per forza è ciclico

Questo deriva da Lagrange.
E mi basta.
E vedi di non fare il furbetto
Intendevo dire che l'argomento è stato esteso dai teoremi di Sylow

[moebius]

Vedi che quando dicevo rifare la dimostrazione intendevo:
A segue da B per il teorema di Pippo
C segue da D per il lemma di Caio
etc...
Non ho scritto di riscrivere (in maniera incompleta) l'enunciato del teorema di Lagrange
Susu, un pò di sforzo... lo so che è banale

[lukra]

No guarda
Hai ragione tu
Nessun problema
Ciao
e' fede e non si capisce nulla.
Certamente.

Non ho scritto di riscrivere (in maniera incompleta) l'enunciato del teorema di Lagrange

Mai detto che quello è il teorema di Lagrange
Quelle sono conseguenze del teorema di lagrange
Che evidentemente manco conosci, ma è intuitivo.