Dimostrare la linearità del differenziale

[killing_buddha]

Mi chiedo come dimostrare che il differenziale è lineare, cioè che se $ ~ f,g : \mathds{A} \rightarrow\mathds{R}^m $ ove A è un aperto di $ \mathds{R}^n $ sono differenziabili in un punto $ ~x\in A $ allora vale per ogni $ \lambda, \mu \in\mathds{R} $ che


$ d(\lambda f +\mu g)_{x} = \lambda df_x + \mu dg_x $

per il testo è banale, ma per me no... non contento sono andato a rivedere come lo avesse fatto il vecchio testo di matematica 1 per le derivate in una sola dimensione e ho letto che da
$ \frac{(f+g)(x+h) - (f+g)(x)}{h} $
"vale scrivere"
$ \frac{f(x+h) + g(x+h) - f(x) -g(x)}{h} $
e ovviamente si conclude... però mi sembra molto, molto, molto una petitio principii.
In base a cosa si può scrivere che date due funzioni qualunque f e g si ha che $ (f+g)(x) = f(x) + g(x) $ ??

[ma_go]

a priori non hai definita una struttura di spazio vettoriale, sulle funzioni: semplicemente definisci le combinazioni lineari di funzioni nel modo comodo:
$ (\lambda f + \mu g)(x) := \lambda f(x) + \mu g(x) $.

quindi il passaggio non è né ovvio né difficile, è semplicemente la definizione