2 Esercizi sulla distribuzione di Poisson

[Law]

Ciao,

ho problemi nell'impostare questi 2 esercizi sulla distrubuzione di Poisson dell'esame di Calcolo :

1) Un numero aleatorio di Poisson ha varianza pari a 3. Calcolare la probabiltà
$ \alpha = P(\frac{3}2<X<\frac{5}2 | \frac{1}2<X<=2) $ (sol : $ \alpha=3/5 $)

2) Un numero aleatorio di Poisson è tale che $ \mathbb{P}(X^2)=\frac{35}4 $. Calcolare la probabilità $ p=P(X^2<=35/4) $ (sol : $ p=\frac{53}8 e^{-\frac{5}2} $)

Ho seri problemi ad impostare questi esercizi qualcuno può darmi una spiegazione di come procedere ?

[Law]

Ho risolto :

1)

$ P(\frac{3}2<X<\frac{5}2 | \frac{1}2 X <= 2) $

sapendo che Poisson ha come codominio Cx={0,1,2,...n} e quindi interi, riscrivo l'evento condizionato e l'evento condizionante come :

$ P(X=2) e P(X=1) v P(X=2) $

per cui :

$ P(\frac{3}2<X<\frac{5}2 | \frac{1}2 X <= 2) = \frac{P(X=2)}{P(X=2)+P(X=1)} $
avendo usato il teorema delle probabilità composte.

ora calcolo con $ \lambda=3 $ e $ x=1 $

$ P(X=1) = \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda} $

ora calcolo con $ \lambda=3 $ e $ x=2 $

$ P(X=2) = \frac{\lambda^x}{x!} e^{-\lambda} $

sostituisco i risultati numerici e ho risolto.

Il secondo lo posto + tardi