Simpatica funzionale sui razionali
Simpatica funzionale sui razionali
Esistono funzioni $ ~ f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+ $ tali che $ ~ yf(xf(y)) = f(x) $ per ogni $ ~ x,y \in \mathbb{Q}^+ $ ?
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darkcrystal
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Si direbbe di no.
x=1 implica $ f(f(y))=\frac{f(1)}{y} $
y=f(x) implica $ f(x) f(1) = f(x) \rightarrow f(1)=1 $, dunque $ f(f(x))=\frac1x $.
y=f(z) implica $ f(z)f(x/z)=f(x) $, cioè $ f(z)f(a)=f(za) $ (tanto posso sempre dividere, visto che sono razionali positivi).
Quindi l'amica è una Cauchy di quelle che si vedono poco, soluzione $ f(x)=x^c $. Ma sostituendo in quella originale viene $ y^{c^2+1}=1 $ che non ha molte soluzioni reali per c.
Ciao (sperando di non dire cretinate!)
x=1 implica $ f(f(y))=\frac{f(1)}{y} $
y=f(x) implica $ f(x) f(1) = f(x) \rightarrow f(1)=1 $, dunque $ f(f(x))=\frac1x $.
y=f(z) implica $ f(z)f(x/z)=f(x) $, cioè $ f(z)f(a)=f(za) $ (tanto posso sempre dividere, visto che sono razionali positivi).
Quindi l'amica è una Cauchy di quelle che si vedono poco, soluzione $ f(x)=x^c $. Ma sostituendo in quella originale viene $ y^{c^2+1}=1 $ che non ha molte soluzioni reali per c.
Ciao (sperando di non dire cretinate!)
"Solo due cose sono infinite: l'universo e la stupidità dell'uomo, e non sono tanto sicuro della prima" - Einstein
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Simo_the_wolf
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uhm, purtroppo è sui razionali... Sai bene che possono essere brutte quanto vogliono, se non hai ipotesi di alcun tipo (tipo monotonia, derivabilità limitatezza, continuità ecc...
Infatti per questo problema posso costruire una funzione "che funziona", anzi ne so costruire infinite...
Visto che è moltiplicativa, mi serve definirla solo sui primi e poi avrò fissato tutto. Ora non voglio farle tutte ma solo una classe infinita... Osservo innanzitutto che se $ f(p) $ con $ p $ primo contiene se stesso allora potrei avere un po' di rogne (ad esempio se $ f(p)=p $ non funzionerebbe). Quindi faccio che $ f(p)=q $ con $ q $ un altro primo. Immaginando un po' come possa andare prendo l'insieme dei numeri primi $ \mathbb{P} $ e lo partiziono in due insiemi (disgiunti): $ \mathbb { P } = \left\{ p_1 , p_2 ,.... \right\} \cup \left\{ q_1 , q_2 ,. ... \right\} $ e impongo:
$ f(p_i)=q_i $
$ f(q_i)=\frac 1{p_i} $
A questo punto resta solo la verifica che questa funzione "funziona"...
Infatti per questo problema posso costruire una funzione "che funziona", anzi ne so costruire infinite...
Visto che è moltiplicativa, mi serve definirla solo sui primi e poi avrò fissato tutto. Ora non voglio farle tutte ma solo una classe infinita... Osservo innanzitutto che se $ f(p) $ con $ p $ primo contiene se stesso allora potrei avere un po' di rogne (ad esempio se $ f(p)=p $ non funzionerebbe). Quindi faccio che $ f(p)=q $ con $ q $ un altro primo. Immaginando un po' come possa andare prendo l'insieme dei numeri primi $ \mathbb{P} $ e lo partiziono in due insiemi (disgiunti): $ \mathbb { P } = \left\{ p_1 , p_2 ,.... \right\} \cup \left\{ q_1 , q_2 ,. ... \right\} $ e impongo:
$ f(p_i)=q_i $
$ f(q_i)=\frac 1{p_i} $
A questo punto resta solo la verifica che questa funzione "funziona"...
È moltiplicativa vuol dire che soddisfa $ ~ f(xy) = f(x)f(y) $.
Basta definire il suo valore sui numeri primi per definirla su tutti i numeri interi o razionali. Infatti per ogni razionale, scomposto in modo unico come:
$ ~ q = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n} $, con i vari p primi e i vari e interi, avremo:
$ ~ f(q) = f(p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}) = f(p_1)^{e_1}f(p_2)^{e_2}\cdots f(p_n)^{e_n} $.
Basta definire il suo valore sui numeri primi per definirla su tutti i numeri interi o razionali. Infatti per ogni razionale, scomposto in modo unico come:
$ ~ q = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n} $, con i vari p primi e i vari e interi, avremo:
$ ~ f(q) = f(p_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_n^{e_n}) = f(p_1)^{e_1}f(p_2)^{e_2}\cdots f(p_n)^{e_n} $.
) soluzione.