Abbiamo un triangolo con vertici R,V,B. E abbiamo anche una triangolazione di questo triangolo, cioè il suo interno è partizionato in (finiti) triangolini che si intersecano su un lato, su un vertice, o non si intersecano.
Coloriamo ogni vertice del triangolo e della triangolazione di rosso, verde o blu, con queste regole:
- il vertice R è colorato di Rosso, V di Verde e B di Blu
- i vertici sul segmento RV sono colorati di Rosso o di Verde, e così via
- i vertici interni sono colorati come gli pare.
Dimostrare che esiste un triangolino con tutti i vertici di colore diverso.
Questa era solo la versione a 2 dimensioni! Il teorema si generalizza tranquillamente ad n dimensioni.
Prendiamo un insieme di n+1 punti in $ ~ \mathbb{R}^n $ tali che non c'è uno spazio ad n-1 dimensioni che li contiene. L'inviluppo convesso di questi n+1 punti lo chiamiamo un n-simplesso. Ad esempio, un 2-simplesso è un triangolo non degenere, un 3- simplesso un tetraedro, etc.
Diciamo che un'iperfaccia di un n-simplesso è il k-simplesso formato da k+1 dei suoi vertici, k<n. Esempio: le iperfacce di un triangolo sono i lati e i vertici.
Una triangolazione di un n-simplesso è un suo ricoprimento in n-simplessi in modo che se due di questi si intersecano, la loro intersezione è un'iperfaccia che hanno in comune.
Ora, prendiamo una triangolazione di un n-1-simplesso $ ~ (v_1,v_2,\ldots,v_n) $ e coloriamo con i colori 1,2,...,n i suoi vertici in modo che se un vertice appartiene a una k-1-iperfaccia $ ~ (v_{i_1}, v_{i_2},\ldots,v_{i_k}) $, il suo colore appartiene all'insieme $ ~ i_1,i_2,\ldots,i_k $.
Dimostrare che esiste un elemento della triangolazione i cui vertici hanno tutti i colori diversi.
