Magari anche senza fare i conti, ma dire se in un certo integrale le posso usare o no e perche'.
Grazie in anticipo.
Formule di quadratura gaussiane
Formule di quadratura gaussiane
Qualcuno puo' farmi qualche esempio di come si usano le formule di quadratura gaussiane ??
Magari anche senza fare i conti, ma dire se in un certo integrale le posso usare o no e perche'.
Grazie in anticipo.
Magari anche senza fare i conti, ma dire se in un certo integrale le posso usare o no e perche'.
Grazie in anticipo.
non ne so molto..l'unica cosa che posso dirti e che so è che le formule Gaussiane di quadratura sono formule di quadratura numerica di massimo grado di precisione, che vengono utilizzate per approssimare un integrale conoscendo n + 1 valori della funzione nell'intervallo [a,b]...
per qull'integrale da quel che ho capito ne vale la pena applicare la formula...però ti ripeto non ne so molto..ti conviene chiedere parere a persone un pò più esperte di me..
per qull'integrale da quel che ho capito ne vale la pena applicare la formula...però ti ripeto non ne so molto..ti conviene chiedere parere a persone un pò più esperte di me..
Ti sarei grato se potessi meglio specificare la questione.
Se la domanda è: "esiste una base di polinomi ortogonali secondo il prodotto scalare
$ p \circ q = \int_{0}^{1} \left(x-\frac{1}{2})^{1/3} p(x) q(x)\,dx $
che abbia una qualche parvenza di maneggevolezza?" La risposta è NO.
Semplicemente si applica Gram-Schimdt e si osserva quel che viene fuori.
Se la domanda è: "quale potrebbe essere un modo efficiente per computare
un integrale nella forma..." la risposta è: dipende. Qualunque formula di quadratura
fornisce risultati affidabili in proporzione alla regolarità della funzione $ f(x) $ e al suo
spettro, inteso come insieme dei prodotti scalari tra $ f(x) $ e i polinomi
(funzioni) che compongono la base ortogonale (ortonormale) convenzionalmente
selezionata. Per parlare spiccio: se $ f(x) $ assomiglia alla funzione $ 1/x\cdot\sin(1/x) $,
qualunque quadratura non porterà lontano, se non preceduta da un opportuno
(ovvio) cambiamento di variabile.
Di sicuro abbiamo
$ \int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{1/3}f(x)\,dx=\frac{3}{2^{4/3}}\int_{-1}^{1}t^3 f\left(\frac{t^3+1}{2}\right)\,dx $
Per cui l'applicazione del metodo dei trapezi, di Clenshaw-Curtis o Feyer
è computazionalmente poco dispendiosa (e non c'è da inventare nessun
particolare archibugio). Inoltre, se $ f(x) $ è analitica reale
$ f(x)=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{a_j}{j!}\,x^j $
non è difficile provare che si ha
$ \int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{1/3}f(x)\,dx=\frac{3}{2^{4/3}}\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j\geq k}\frac{1}{3k+2}\cdot\frac{a_j}{2^j\cdot(2k)!\cdot(2k-j)!} $
ma prima di lanciarsi in altri calcoli forsennati è forse il caso di attendere delucidazioni...
Se la domanda è: "esiste una base di polinomi ortogonali secondo il prodotto scalare
$ p \circ q = \int_{0}^{1} \left(x-\frac{1}{2})^{1/3} p(x) q(x)\,dx $
che abbia una qualche parvenza di maneggevolezza?" La risposta è NO.
Semplicemente si applica Gram-Schimdt e si osserva quel che viene fuori.
Se la domanda è: "quale potrebbe essere un modo efficiente per computare
un integrale nella forma..." la risposta è: dipende. Qualunque formula di quadratura
fornisce risultati affidabili in proporzione alla regolarità della funzione $ f(x) $ e al suo
spettro, inteso come insieme dei prodotti scalari tra $ f(x) $ e i polinomi
(funzioni) che compongono la base ortogonale (ortonormale) convenzionalmente
selezionata. Per parlare spiccio: se $ f(x) $ assomiglia alla funzione $ 1/x\cdot\sin(1/x) $,
qualunque quadratura non porterà lontano, se non preceduta da un opportuno
(ovvio) cambiamento di variabile.
Di sicuro abbiamo
$ \int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{1/3}f(x)\,dx=\frac{3}{2^{4/3}}\int_{-1}^{1}t^3 f\left(\frac{t^3+1}{2}\right)\,dx $
Per cui l'applicazione del metodo dei trapezi, di Clenshaw-Curtis o Feyer
è computazionalmente poco dispendiosa (e non c'è da inventare nessun
particolare archibugio). Inoltre, se $ f(x) $ è analitica reale
$ f(x)=\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{a_j}{j!}\,x^j $
non è difficile provare che si ha
$ \int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{1/3}f(x)\,dx=\frac{3}{2^{4/3}}\sum_{k=0}^{+\infty}\sum_{j\geq k}\frac{1}{3k+2}\cdot\frac{a_j}{2^j\cdot(2k)!\cdot(2k-j)!} $
ma prima di lanciarsi in altri calcoli forsennati è forse il caso di attendere delucidazioni...
Jack alias elianto84 alias jack202
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
http://www.matemate.it IL SITO
.::Achtung!!::. - Jordan causa nilpotenza -
La mia domanda e' la prima che ti sei posto.
Comunque se per esempio la funzione fosse
$ $ \int_0^1 (x-0.5)^\frac1{3}x^2 dx$ $
cambio le variabili di integrazione e ottengo
$ $ (1/16^\frac1{3}) \int_{-1}^1 (t)^\frac1{3} * (1/2*t+1/2)^2*dt$ $
A questo punto punto posso usare Gauss-Legendre ???
Da quello che ho capito posso.
Comunque se per esempio la funzione fosse
$ $ \int_0^1 (x-0.5)^\frac1{3}x^2 dx$ $
cambio le variabili di integrazione e ottengo
$ $ (1/16^\frac1{3}) \int_{-1}^1 (t)^\frac1{3} * (1/2*t+1/2)^2*dt$ $
A questo punto punto posso usare Gauss-Legendre ???
Da quello che ho capito posso.