trigon

[jordan]

x piever..potresti postare la tua soluz?:-)a occhio pare che funzione cmq!

[piever]

Allora, poniamo $ f(x)=(1-x)^{1-x}-x^x $

Il minimo valore di f(x) in un intervallo, o e' uno degli estremi o e' un punto di annullamento della derivata. Se e' negli estremi abbiamo risolto, in quanto:

$ \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=0 $ e $ \displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=0 $

Se invece e' in un punto di annullamento della derivata, avremo che in quel punto la derivata seconda e' nonnegativa, quindi:

$ \displaystyle f''(x)=\frac{(1-x)^{1-x}}{1-x}-(1+\ln(1-x))^2(1-x)^{1-x} $$ \displaystyle -\frac{x^x}{x}-(1+\ln(x))^{2}x^x\ge 0 $

Quindi $ \displaystyle \frac{(1-x)^{1-x}}{1-x}>\frac{x^x}{x} $ ma $ 1-x\ge x $, per cui $ (1-x)^{1-x}>x^x $ e abbiamo concluso.

[FeddyStra]

uhm, se non ho completamente cannato la dimostrazione, per x nell'intervallo $ \displaystyle(0,\frac{1}{2}) $ si ha una tesi un po' piu' forte, cioe':

$ \displaystyle x^x<(1-x)^{1-x} $

Ma onestamente non credo ci sia una soluzione non analitica, anche se sarei curioso di vederla...

Se $ x\in \left ]0,\frac 1 2 \right] $ direi che $ x \le 1-x $ e quindi è naturale che $ x^x \le (1-x)^{1-x} $, con l'uguaglianza solo nel caso $ x=\frac 1 2 $.

Infatti se $ x<y $, $ x^x<y^x<y^y $.


Ps: direi che si possa considerare non analitica...

[mitchan88]

uhm, se non ho completamente cannato la dimostrazione, per x nell'intervallo $ \displaystyle(0,\frac{1}{2}) $ si ha una tesi un po' piu' forte, cioe':

$ \displaystyle x^x<(1-x)^{1-x} $

Ma onestamente non credo ci sia una soluzione non analitica, anche se sarei curioso di vederla...

Se $ x\in \left ]0,\frac 1 2 \right] $ direi che $ x \le 1-x $ e quindi è naturale che $ x^x \le (1-x)^{1-x} $, con l'uguaglianza solo nel caso $ x=\frac 1 2 $.

Infatti se $ x<y $, $ x^x<y^x<y^y $.


Ps: direi che si possa considerare non analitica...

Guarda il post di leblanc della pagina prima

[Ponnamperuma]

uhm, se non ho completamente cannato la dimostrazione, per x nell'intervallo $ \displaystyle(0,\frac{1}{2}) $ si ha una tesi un po' piu' forte, cioe':

$ \displaystyle x^x<(1-x)^{1-x} $

Ma onestamente non credo ci sia una soluzione non analitica, anche se sarei curioso di vederla...

Se $ x\in \left ]0,\frac 1 2 \right] $ direi che $ x \le 1-x $ e quindi è naturale che $ x^x \le (1-x)^{1-x} $, con l'uguaglianza solo nel caso $ x=\frac 1 2 $.

Infatti se $ x<y $, $ x^x<y^x<y^y $.


Ps: direi che si possa considerare non analitica...

Guarda il post di leblanc della pagina prima

Ehi, ho un fantastico emulatore!... Federico, Federico, non cadere anche tu negli errori dei brocchi come il sottoscritto!!