Mah, vediamo un po', sebbene io non sia assolutamente tra i "grandi matematici del forum"!!
1. Definisco l'insieme dei naturali ricorsivamente: $ n_0=0, n_{k+1}=n_k+1 $. E' chiaro che posso proseguire indefinitamente la successione, che quindi è infinita.
2. Per il principio del buon ordinamento, supponendo che l'insieme $ \mathbb{Z} $ sia finito, esso ha un elemento minimo, $ z_0 $. Ma anche $ z_0-1 $ è un intero, dunque vi sono infiniti interi.
Ad ogni modo, intendendo $ \mathbb{Z} $ come ampliamento di $ \mathbb{N} $, l'infinità degli interi segue banalmente...
3. Per i razionali, siano $ \frac{a}{b},\frac{c}{d} $, con $ \frac{a}{b}< \frac{c}{d} $, due numeri positivi (per semplicità) appartenenti a $ \mathbb{Q} $. Vale naturalmente $ ad<bc $. Allora anche $ \frac{a+c}{b+d} $ è razionale. Poichè questo modo di costruire razionali è iterabile all'infinito, anche i razionali sono infiniti.
Sui reali non mi pronuncio, anche perchè non so nulla di Cantor... Ciò nonostante, siccome la questione riguarda solo l'infinità degli insiemi, penso sia sufficiente l'argomentazione già proposta circa $ \mathbb{Z} $, visto che tutti gli insiemi citati nascono come ampliamenti successivi di $ \mathbb{N} $.
Forse Cantor serve per dimostrare che i reali sono densi...
Spero quadri tutto!... Andrea
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
...mi rivolgo ai grandi matematici del forum...c'è qualcuno che con molta pazienza possa farmi le seguenti cinque dimostrazioni:
