Posto qui perchè la querèle è nata durante la lezione di analisi.
Quanto fa $ ~1^i $?
Si può vedere la cosa in due modi, ma si arriva a due risultati diversi:
1) $ 1^i = e^{i\log1} = e^0 = 1 $
e questo è quello che credo io... in fondo la cosa tira in ballo solo le proprietà dei logaritmi... niente di "trascendentale" o particolarmente "complesso ( )
2) Tenendo presente che
$ e^{2\pi i} = 1 $
si elevano ambo i membri alla $ ~i $ e si ottiene
$ e^{2\pi i^2} = 1^i = e^{-2\pi} $
come lo spiegate?
Beh, il fatto è che l'esponenziale complesso è periodico. Elevare un numero alla i significa elevare e alla i*log (quel numero), ma il log complesso non è ben definito, o meglio, lo si può definire solo su un dominio limitato.
Esattamente, ed infatti anche nel primo modo di calcolo da te presentato, visto che stai lavorando con i numeri complessi, devi tener conto che
$ \log 1=\{2k\pi i\}_{k\in\mathbb{Z}} $
e dunque puoi avere $ 1^i=e^{2k\pi i^2}=e^{-2k\pi} $ per ogni k intero ... i due risultati in se non sono in contraddizione ... semplicemente gli elevamenti a potenza in campo complesso possono far accadere buffe cose.
C'è anche da dire però che quando la base è un numero reale positivo è possibile definire in modo non ambiguo l'esponenziale scrivendo $ a^z=e^{z\log a} $ dove $ \log $ non è un'arbitraria determinazione del logaritmo complesso ma l'usuale logaritmo da $ \mathbb{R}_+ $ in $ \mathbb{R} $.
Questa definizione è quella comunemente utilizzata e che si può dare per scontata a meno di avvisi espliciti in senso contrario, per cui io direi che, seguendo le notazioni più comuni, $ 1^i=1 $.
Grazie delle risposte, ora ho capito un po' meglio... ma la questione da dove nasce? non è un po' poco rigoroso definire cose che portano a questi paradossi? dove nasce di preciso la distinzione tra esponenziale (funzione che si dimostra esistere in quanto sup di una successione crescente e inf di un'altra decrescente) e esponenziale complesso, strettamente legato alle funzioni $ ~\sin $ e $ ~\cos $ ?
Non c'è niente di poco rigoroso. Il fatto è che una funzione logaritmo da C a C che abbia le proprietà che ti aspetti non si può definire, e infatti non si definisce. Lo stesso vale per le funzioni potenza. Se però ci si restringe ad un aperto di C non troppo grosso (quello che serve è che sia semplicemente connesso, ma ora non ci importa) è possibile definire queste funzioni. Un po' come è possibile definire il logaritmo da R+ in R. Quando fai tutte queste manipolazioni dovresti vedere che gli argomenti delle funzioni che applichi restino nel dominio su cui sei riuscito a definirle.
The best argument against democracy is a five-minute conversation with the average voter. - Winston Churchill
Teorema di K.B.$ e^{\pi^2} $ è un numero algebrico. Dim.: Dalla relazione scritta sopra, dividendo tutto per $ e $, si vede che vale $ $ e^{4 \pi^2} = 1 $. In particolare, $ e^{\pi^2} $ è zero del polinomio $ X^4 - 1 $. []
Ecco qual è il tipo di trappole a cui bisogna stare attenti con le esponenziali di numeri complessi con base complessa!
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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"Well, master, we're in a fix and no mistake."
Teorema di K.B.$ e^{\pi^2} $ è un numero algebrico. Dim.: Dalla relazione scritta sopra, dividendo tutto per $ e $, si vede che vale $ $ e^{4 \pi^2} = 1 $. In particolare, $ e^{\pi^2} $ è zero del polinomio $ X^4 - 1 $. []
Ecco qual è il tipo di trappole a cui bisogna stare attenti con le esponenziali di numeri complessi con base complessa!
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