Dimostrare che
$ \displaystyle \frac {d^n x^n (x-1)^n}{dx^n}=n! \sum_{i=0} ^n {\binom n i}^2 x^i (x-1)^{n-i} $
Derivata
Derivata
[quote="julio14"]Ci sono casi in cui "si deduce" si può sostituire con "è un'induzione che saprebbe fare anche un macaco", ma per come hai impostato i conti non mi sembra la tua situazione...[/quote][quote="Tibor Gallai"]Ah, un ultimo consiglio che risolve qualsiasi dubbio: ragiona. Le cose non funzionano perché lo dico io o Cauchy o Dio, ma perché hanno senso.[/quote]To understand recursion, you fist need to understand recursion.
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
[tex]i \in \| al \| \, \pi \, \zeta(1)[/tex]
SI sa che e':
$ D^{(n)}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)}(x)\;g^{(k)}(x) $
sostituiendo $ f(x) = x^n $ e $ g(x) = (x-1)^n $ e sapendo che e':
$ D^{(n-k)}[x^n] = \frac{n!}{k!}x^k $ e
$ D^{(k)}[(x-1)^n] = \frac{n!}{(n-k)!}(x-1)^{n-k} $
Viene:
$ D^{n}[{x^n}{(x-1)^n}] = \sum_{k=0}^n {n \choose k}{\frac{n!}{k!}x^k}\;{\frac{n!}{(n-k)!}}(x-1)^{n-k} $ =
= $ {n!}\sum_{k=0}^n {{n \choose k}^2}{x^k}\;(x-1)^{n-k} $
$ D^{(n)}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^n {n \choose k} f^{(n-k)}(x)\;g^{(k)}(x) $
sostituiendo $ f(x) = x^n $ e $ g(x) = (x-1)^n $ e sapendo che e':
$ D^{(n-k)}[x^n] = \frac{n!}{k!}x^k $ e
$ D^{(k)}[(x-1)^n] = \frac{n!}{(n-k)!}(x-1)^{n-k} $
Viene:
$ D^{n}[{x^n}{(x-1)^n}] = \sum_{k=0}^n {n \choose k}{\frac{n!}{k!}x^k}\;{\frac{n!}{(n-k)!}}(x-1)^{n-k} $ =
= $ {n!}\sum_{k=0}^n {{n \choose k}^2}{x^k}\;(x-1)^{n-k} $
MIND TORNA CON NOI