Carissimi,
sono appena arrivata e questo è il mio primo post
Qualche suggerimento per il problema seguente?
sum_{m=0}_k ( C( k; m) ( (1-b^(2n))^m ) b^(2m(1-n)))
k, n interi fissati
b reale <1
C( k; m) è il coefficiente binomiale
C( k; m)=k!/(m! (k-m)!)
Se può essere utile, viene dal clacolo del valor medio di f:
m var aleatoria binomiale con valori tra 0 e k
p della binomiale: p=(1-b^2n)
f funzione f(m)=b^(2(n+m))
Grazie!!
formula chiusa per sommatoria
se non ti spiace, per questioni "estetiche", rinomino le variabili e riscrivo il tutto in tex..
$ \sum_{k=0}^m\binom{m}{k}(1-b^{2n})^kb^{-k(2n-2)} $.
per la soluzione, di solito il trucco è riscrivere le cose di modo che gli esponenti delle due potenze abbiano somma $ m $: moltiplichiamo e dividiamo per $ b^{m(2n-2)} $, e viene:
$ \frac{1}{b^{2m(n-1)}}\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}(1-b^{2n})^k(b^{2n-2})^{m-k} $, da cui viene $ \left(\frac{1-b^{2n}+b^{2n-2}}{b^{2n-2}}\right)^m $, più agevolmente scritta come $ (1-b^2+b^{2-2n})^m $..
sempre che non abbia fatto errori di calcolo :p
$ \sum_{k=0}^m\binom{m}{k}(1-b^{2n})^kb^{-k(2n-2)} $.
per la soluzione, di solito il trucco è riscrivere le cose di modo che gli esponenti delle due potenze abbiano somma $ m $: moltiplichiamo e dividiamo per $ b^{m(2n-2)} $, e viene:
$ \frac{1}{b^{2m(n-1)}}\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}(1-b^{2n})^k(b^{2n-2})^{m-k} $, da cui viene $ \left(\frac{1-b^{2n}+b^{2n-2}}{b^{2n-2}}\right)^m $, più agevolmente scritta come $ (1-b^2+b^{2-2n})^m $..
sempre che non abbia fatto errori di calcolo :p
giulia.sim, benvenuta; ti consiglio di leggere le regole e le faq del forum che si trovano nel comitato di accoglienza ed inoltre ricordo (a te e a tutti) che questo forum è dedicato principalmente alle olimpiadi di matematica ed il suo scopo non è quindi quello di fornire aiuto agli studenti delle superiori o dell'università per compiti o esami.