punto materiale in moto su un piano con potenziale

[crixman]

Non riesco a risolvere questo problema di fisica matematica.

Scrivere le equazioni di Newton per un punto materiale di massa m che si muove su un piano dove agisce una forza conservativa derivante dal potenziale

V(r,φ)=V0(r2/a2)e-r^2/a^2cos φ

Dove r e φ sono le coordinate polari piane, mentre a e V0 sono numeri reali positivi. Dalle equazioni del moto, verificare se sono possibili moti radiali e moti circolari.

MIO SVOLGIMENTO:ho cambiato all’interno dell’equazione le coordinate piane in :
x=r cos φ
y=r sin φ
r2=x2+y2
e mi viene fuori: V=(V0 /a2)( x2+y2)e-r^2/a^2cos φ
a questo punto dev derivare per trovare le componenti della forza su x e y, solo che l’equazione mi sembra molto complessa.c’è altro che posso semplificare? e poi dopo come faccio a capire se ci sono moti radiali e circolari?grazie x l’aiuto!

[crixman]

r e a dopo V0 sono al quadrato...

cmq se non riuscite a rispondere nemmeno voi...mi sa che è proprio dura allora...

[tuvok]

Io lo farei così: scrivi l'energia cinetica del punto materiale come $ T(r,\phi)=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2) $, e ti costruisci la lagrangiana del sistema $ L(r,\phi)=(T-V)(r,\phi) $. Le equazioni del moto te le ricavi dalle equazioni di Lagrange:

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}} \right ) - \frac{\partial L}{\partial r}=0 $

$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} \right ) - \frac{\partial L}{\partial \phi}=0 $

Poi vedi se ci sono soluzioni delle equazioni del moto con $ r\,\, $ costante (moto circolare) o con $ \phi\,\, $ costante (moto radiale). A parole sembra facile, poi i conti forse (anzi probabilmente) sono incasinati. Sicuramente c'è un modo più facile per farlo, quello che ho proposto è quello standard per i problemi conservativi con più gradi di libertà.