Salve, sto studiando le serie di potenze e mi sono bloccata su questa:
devo trovare raggio di convergenza e intervallo...
Somme da 1 a infinito di [(3^n)+(5^n)]/[(3^n)+(7^n)] tutto moltiplicato ovviamente per x^n
Scusate se scrivo cosi ma mi devo ancora procurare latext
Grazie a chi avrà voglia di aiutarmi...
Serie di potenze
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DarkSepiroth
- Messaggi: 68
- Iscritto il: 30 ago 2006, 14:49
se ho ben capito la tua serie è
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^n + 5^n}{3^n + 7^n} x^n $
chiamo $ \frac{3^n + 5^n}{3^n + 7^n} = a_n $
C'è la regoletta maledetta degli analisti: (r=raggio di convergenza...)
$ r = 1/limsup_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n} $.
In questo caso poi il limsup è proprio il limite di a_n (basta calcolarselo...)
$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3^n + 5^n}{3^n + 7^n} x^n $
chiamo $ \frac{3^n + 5^n}{3^n + 7^n} = a_n $
C'è la regoletta maledetta degli analisti: (r=raggio di convergenza...)
$ r = 1/limsup_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{a_n} $.
In questo caso poi il limsup è proprio il limite di a_n (basta calcolarselo...)
A occhio direi che il raggio di convergenza è 7/5, cioè il reciproco del limite sotto radice n-esima della successione dei coefficienti.
Se poni $ x = \frac{7}5 $ la serie numerica diverge perchè il termine generale converge a 1. Con $ x = -\frac{7}5 $ hai un problema analogo, anzi è una successione oscillante.
Quindi dire che l'intervallo di convergenza uniforme è [-h , h] con 0<h<7/5
Se poni $ x = \frac{7}5 $ la serie numerica diverge perchè il termine generale converge a 1. Con $ x = -\frac{7}5 $ hai un problema analogo, anzi è una successione oscillante.
Quindi dire che l'intervallo di convergenza uniforme è [-h , h] con 0<h<7/5