anche i positivi sono afflitti da disuguaglianze sociali

[salva90]

siano a, b, c reali positivi.
provare che
$ abc(a+b+c)\le a^3b+b^3c+c^3a $


disuguaglianza dall'Engel, non richiede alcuna conoscenza particolare ma solo un pò di capacità di arrangiarsi.
pertanto sconsigliata ai più forti...
let's go!

[EUCLA]

Bene, mi sembra di averla risolta ma se fosse così sarebbe troppo facile e troppo bello quindi lascio a voi il compito di trovare l'errore, visto che io non ci riesco

$ abc(a+b+c)\le a^{3}b+b^{3}c+c^{3}a $

Dividiamo inanzitutto per $ abc $ essendo, $ a, b, c $ reali positivi.

$ (*) a+b+c \le \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{b} $

A questo punto, essendo la disequazione ciclica, posso solo scegliere un termine:
supponiamo che $ a \le b,c $.

Quindi ho due casi: $ (1) a \le b \le c $; $ (2) a \le c \le b $

In entrambi i casi applico il riarrangiamento, quindi ho:

$ (1) $
$ a^2 \le b^2 \le c^2 $

$ \frac{1}{c} \le \frac {1}{b} \le \frac {1}{a} $

per cui segue la disuguaglianza $ (*) $

Allo stesso modo:
$ (2) $
$ a^2 \le c^2 \le b^2 $

$ \frac {1}{b} \le \frac{1}{c} \le \frac{1}{a} $

anche in questo caso il minimo è $ a+b+c $

[salva90]

Mi sembra che funzioni...

uffa, io mi sono incasinato all'inverosimile
però la mia soluzione non fa uso di nessuna disuguaglianza nota (a parte $ x^2\ge0 $ )

[edriv]

Altri modi: a partire da dove era arrivata EUCLA, $ ~ \frac{a^2}c + \frac{b^2}a + \frac{c^2}b \ge a+b+c $, la riscriviamo come $ ~ (c+a+b)(\frac{a^2}c + \frac{b^2}a + \frac{c^2}b) \ge (a+b+c)^2 $ che è la mitica Cauchy Schwarz.

Eppoi vogliamo vedere la soluzione incasinatissima ma artigianale di salva90!

[salva90]

Per la serie: 10 righe sono meglio di 2
riscrivo e raggruppo un pò

$ a^3b-ab^2c+b^3c-abc^2+c^3a-a^2bc\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a^2-bc)+bc(b^2-ac)+ca(c^2-ab)\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a^2-c^2)+ab(c^2-bc)+bc(b^2-a^2) $$ +bc(a^2-ac)+ac(c^2-b^2)+ac(b^2-ab)\ge 0 $
$ \Leftrightarrow ab(a^2-c^2)+bc(b^2-a^2)+ac(c^2-b^2) $$ +abc(c-b)+abc(a-c)+abc(b-a)\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a^2-c^2)+bc(b^2-a^2)+ac(c^2-b^2)\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a-c)^2-2ab(c^2-ac)+bc(b-a)^2 $$ -2bc(a^2-ab)+ca(c-b)^2-2ca(b^2-bc)\ge0 $
$ \Leftrightarrow ab(a-c)^2+bc(b-a)^2+ca(c-b)^2\ge $$ 2abc(c-a)+2abc(a-b)+2abc(b-c)=0 $

[EUCLA]

io mi sono incasinato all'inverosimile

dato che mi avevi preannunciato l'incasinamento, era per quello che mi preoccupavo se fosse giusta