mumble.. io ho un'altro approccio!
visto che qualcuno (che tanto è più esperto di me in combinatoria, quindi questo discorso non ha senso) ha già postato la sua soluzione, io posto la mia.
intanto, diciamo che un insieme è di tipo z, o uno z-insieme, se è mingherlino, cioè non cicciotto.
dimostriamo prima che se $ A_1 $ e $ A_2 $ sono due z-insiemi, allora anche la loro unione è uno z-insieme.
da questo segue che gli z-insiemi sono "chiusi per unione finita".
perché vogliamo farlo? beh, sappiamo che $ \mathbb{N} $ è cicciotto, quindi non può essere unione di z-insiemi, quindi avremmo la tesi.
passiamo quindi alla dimostrazione: come si caratterizzano gli z-insiemi? un insieme è non-cicciotto se per ogni $ D $ intero positivo esiste un $ K(D) $ intero positivo tale che per ogni $ K $ elementi $ a_1<\dots<a_K $ dell'insieme esista un $ J $ tale che $ a_{J+1}-a_J>D $.
adesso, consideriamo i due z-insiemi $ A_1,A_2 $, con le relative funzioni $ K_1,K_2 $, e consideriamo la loro unione $ A $; vogliamo dimostrare che $ K(D)\le (K_1(2D)+1)(K_2(2D)+1) $ (tanto per esagerare, la stima è tutt'altro che ottimale, credo).
infatti, che facciamo? prendiamo $ M = (K_1(2D)+1)(K_2(2D)+1) $ elementi $ a_1,\dots,a_M $ elementi nell'unione: o ce ne sono $ K_i(2D) $ in $ A_i $ (per entrambi gli indici), e, restrigendoci a quelli, è facile dimostrare che c'è un intervallo di lunghezza almeno $ D $ "scoperto". (se volete chiarimenti su questo punto, chiedete pure).
oppure, ce ne sono davvero tanti in un insieme, e molto pochi nell'altro, che ci dice che ce ne sono almeno $ K_i(2D) $ di consecutivi che stanno in $ A_i $, per cui l'unione è uno z-insieme.
per inciso, una stima migliore dovrebbe essere $ \max\{K_1(2D)+K_2(2D), (K_1(D)-1)(K_2(D)-1)+1\} $, o qualcosa di molto simile...
se non torna, siete liberi di insultarmi
