Calcola il gruppo fondamentale di $ \mathbb{R}^3 \setminus X $, dove $ X = \{ (x,y,z) : z=0, ((x+1)^2 + y^2 -1)((x-1)^2+y^2-1)=0 \} $. Insomma, tolgo a $ \mathbb{R}^3 $ un bouquet di due circonferenze centrato nell'origine e contenuto nel piano xy.
Intuitivamente ho concluso che il gruppo deve essere $ \mathbb{Z} * \mathbb{Z} * \mathbb{Z} $, ma non riesco a trovare la strada giusta per scrivere una retrazione forte che mi aiuti a formalizzare, e neppure VanKampen mi sembra così ovvio, ad esempio avevo pensato di intersecare lo spazio con $ S^2 $ e concludere che $ S^2 \setminus \{4 pti \} $ ne era un retratto di deformazione ma non sono cosi convinto che sia giusto... , non è che qualcuno può mettermi sulla retta via ?
francamente, non sono convinto che quella cosa (che chiamerò $ Y $)si retragga sulla sfera meno quattro punti..
però puoi applicare vk "al contrario".
non sono sicurissimo che funzioni (anche perché mi ero convinto che fosse libero su tre generatori in altro modo): considera $ \mathbb{R}^3 $ immerso in $ S^3 $ al solito modo.
allora applica vk ad $ Y':=S^3\setminus X $: allora scrivi $ Y'=Y\cup B_3 $, e applica van kampen per calcolare il gruppo fondamentale di $ Y' $, che sarà isomorfo a quello di $ Y $ (solita questione, hai il prodotto amalgamato del gruppo fondamentale di $ Y $ e della palla $ B_3 $ su quello della palla meno un punto).
ma adesso vedi $ \mathbb{R}^3 $ in $ S^3 $ "togliendo" il punto di intersezione delle due circonferenze (che tanto manca già): in sostanza, il tuo $ Y' $ è $ \mathbb{R}^3 $ meno due rette distinte, quindi il suo gruppo fondamentale è libero su due generatori...
mi pare che tutto ciò funzioni, controlla meglio i dettagli, però.
in alternativa, puoi farti i conticini espliciti del prodotto amalgamato con vk, applicato ai due "semispazi" $ Y_1=\{x<1\}\cap Y $, $ Y_2=\{-1<x\}\cap Y $: la loro intersezione si retrae effettivamente su $ S^2 $ meno quattro punti; per il gruppo fondamentale di ciascuno dei due, ri-applichi van kampen con i due insiemi $ Z_1 = Y_1\cap\{x<-1/3\} $, $ Z_2 = Y_1\cap\{-2/3<x\} $, di cui sai calcolare i gruppi fondamentali (uno è come l'intersezione $ Y_1\cap Y_2 $, l'altro è lo spazio meno una retta), e giochi ancora con i prodotti amalgamati, nella vana speranza di non perderti...
, non è che qualcuno può mettermi sulla retta via 
?