(n-1)^2|n^(n-1)-1

[fede90]

Provare che per ogni $ $n$ $ naturale $ $\geq 1$ $

$ \[(n-1)^2 | n^{n-1}-1\] $

[Sepp]

$ (n - 1)^2 \mid (n - 1)(n^{n-2} + ... + n + 1) \Longleftrightarrow $
$ n - 1 \mid n^{n-2} + ... + n + 1 \Longleftrightarrow $
$ n - 1 \mid (n^{n-2} - 1) + ... + (n - 1) + 1 + (n - 2) $

[edriv]

O anche, posto n-1 ---> n, basta dimostrare che:
$ ~ n^2 \mid (n+1)^n - 1 $
che è vera perchè sviluppiamo il binomiale, basta che consideriamo gli ultimi 2 termini, ma uno è divisibile per n^2 perchè $ ~{ n \choose 1} = n $, l'altro si annulla con -1.