questione di cappelli

[jordan]

un signore ha due cappelli, uno giallo e uno bianco. li indossa secondo le seguenti regole:
1)se un giorno porta quello giallo il giorno dopo non porta alcun cappello
2)se un giorno non porta alcun cappello il giorno dopo porta quello bianco
3)se un giorno porta quello bianco il giorno dopo porterà con uguale probabilità quello bianco o quello giallo.
qual è la probabilità che in un giorno lontanissimo non indossi alcun cappello?

preferibile mezzo rigo di soluzione:-)

[albert_K]

ehm... davvero è così banale, da mezzo rigo di soluzione?
Io ho invece considerato la successione definita per ricorrenza dei giorni senza cappello (nel diagramma ad albero).

$ $ u_1 = 1 $
$ $ u_2 = 1 $
$ $ u_3 = 1 $
$ $ u_n = u_{n-1} + u_{n-3} $

Si nota poi facilmente che

$ $ g_n = u_{n+1} $ e
$ $ b_n = u_{n+2} $

Poi ho fatto una ricerca sulla OEIS ( http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000930 ) e ho trovato che la (anzi, una) formula esplicita è $ $ u_n = [d \cdot c^n + 1/2] $dove d e c sono delle costanti algebriche, radici di due polinomi cubici. In particolare $ $ c = 1.465571231876768 \dots $

Dovendo trovare
$ $ lim_{n \rightarrow \infty} \frac{u_n}{u_n + u_{n+1} + u_{n+2}} $ ottengo
$ $ lim_{n \rightarrow \infty} \frac{dc^n}{dc^n + dc^{n+1} + dc^{n+2}} = \frac{1}{1+c+c^2} $ che è circa $ $ 0.216756 \dots $

Ora... essendoci sicuramente una soluzione più breve e intelligente, è giusto il risultato che ho ottenuto?

[moebius]

Ehm... io non ho fatto di meglio, nel senso che ho scritto una formula ricorsiva per la probabilità di non avere cappelli l'ennesimo giorno (e anche a me spuntano fuori le radici di un polinomio di grado 3 che non ho calcolato), sperando poi dal risultato di dedurne qualcosa che potesse stare in mezzo rigo... però se il risultato è quello di albert_k dubito si possa tirar fuori in mezzo rigo...
Quindi o sono completamente fuori strada o non ho capito il problema. In realtà mi era balenata l'idea di calcolare la probabilità che si presenti almeno una volta da un giorno fissato la sequenza GialloNessunoBianco, che è uno (una sequenza infinita di Bianco ha prob 0) e poi dividere per 3 ottendendo 1/3. Sarebbe stata in un rigo o poco più ma... come dire...
Proverò a rifare i conti del mio polinomio di terzo grado (anche se noto adesso che una radice è 1, forse non era tanto pessimo) e vediamo cosa esce fuori... e magari domani racconto questo all'esame di geometria differenziale

[3C273]

Io l'ho fatto in una maniera più semplice... ma mi viene diverso. Innanzitutto, in maniera intuitiva: se un giorno mette il cappello bianco, quale sarà il prossimo giorno in cui mette un bianco? Nel 50% dei casi 1 giorno dopo, nel 50% dei casi dopo 3 giorni. Mediamente, dopo (3+1)/2=2 giorni. Se mette il cappello bianco in media ogni 2 giorni, la probabilità di avere addosso il cappello bianco è il 50%. Per il cappello Giallo e nessun cappello, la probabilità è la stessa, perchè vengono messi sempre in sequenza, quindi 25% e 25%.

Ora però, siccome coi ragionamenti intuitivi si sbaglia sempre in probabilità, ho reso la cosa un po' più formale ma ottengo lo stesso risultato:
Sia $ N_n $ l'evento di non avere Nessun cappello il giorno n, $ G_n $ l'evento di avere il cappello Giallo il giorno n e $ B_n $... indovinate!
Allora:
$ P(N_n)=P(G_{n-1})=\frac{1}{2}P(B_{n-2})= $
$ =\frac{1}{2}[P(B_{n-2}|B_{n-3})P(B_{n-3})+P(B_{n-2}|N_{n-3})P(N_{n-3})= $
$ =\frac{1}{2}[\frac{1}{2}P(B_{n-3})+P(N_{n-3})] $
(siccome il giorno è molto lontano, direi che $ P(X_n)=P(X_{n+i}) \;\forall i $ ...)
$ \Rightarrow P(N_n)=\frac{1}{4}P(B_n)+\frac{1}{2}P(N_n) $
E sapendo che $ P(N_n)+P(B_n)+P(G_n)=1 $ e che $ P(G_n)=P(N_n) $ si ottiene che $ P(N_n)=\frac{1}{4} $.

Ciao!

[moebius]

Ok... io avevo fatto la stessa cosa senza $ P(X_n)=P(X_{n+i}) $ e quindi senza poter sfruttare $ P(G_n)=P(N_n) $...
A questo punto sono curioso di vedere se il passaggio al limite fornisce lo stesso risultato. I hope so

[albert_K]

Ora che ci penso credo non abbia senso il denominatore della mia frazione, ho considerato equiprobabili i singoli casi per ogni giorno, mentre non lo sono affatto

[jordan]

complimenti a 3c273........hai centrato

[moebius]

Si, complimenti Anche per avermi spiegato il perchè fare il limite aveva molto poco senso

[jordan]

tanto per...questo era l'ultimo esercizio di uno dei test di ammissione alla scuola di catania di qualke anno fa..(amio avviso piuttosto facile cmq..)