Derivabilità

[korkey]

ho questa funzione composta da $ \displaystyle\frac{sinx}{x} $ se $ x\neq 0 $
e 0 se x=0
la funzione è definita e continua su tutto R
devo studiare la derivabilità
Qualche aiutino??

[Ponnamperuma]

Beh, puoi cominciare a chiederti cosa fa in 0... e da lì ricavi già qualche considerazione interessante... no?
Ah, e a meno di abbagli dubito fortemente che sia continua su tutto $ \mathbb{R} $... ... che sia $ \mathbb{R}\setminus\{0\} $??

[korkey]

il limite di x che tende a 0 di $ \displaystyle\frac{sen(x)}{x} $ e uno di quei limiti notevoli e vale 1 sia dalla destra che dalla sinistra di 0, la funzione non sarebbe continua in 0, ma io ho un prolungamento per continuità quindi anche li è continua

ho provato a farmi la derivata di f(x)

che è $ \frac{xcos(x)-sen(x)}{x^2} $ e vedere quanto vale in 0,
ma viene una forma indeter, inoltre credo ci siano anche dei flessi........

[albert_K]

Sarebbe continua su tutto R se fosse prolungata per continuità, ma invece non lo è. E' solo prolungata per definizione.
Non è continua in 0, quindi non è neanche derivabile; ma lo è in tutti gli altri punti.
Anzi, direi che $ $ \in C^\infty(\mathbb{R} \setminus\{0\} ) $ e ha infiniti punti di massimo e minimi relativi, e altrettanti flessi

[korkey]

Giusto avete ragione entrambi per essere continua in 0 ci sarebbe dovuto stare 1 e non 0 nel prolung.
per quanto riguarda i flessi anche li la f(x) non è derivabile, ma trovarli è un pò complicato. Come fare??

[korkey]

Ho un piccolo dubbio!
In un punto stazionario una funzione è derivabile in quel punto??
esempio:

f(x)= $ x^3 $ la funzione è derivabile su tutto R pur essendo la derivata prima,in quel punto, uguale a 0??

Mentre invece in f(x)=$ \sqrt[3]{x} $ ho un flesso a tang. verticale, questo implica che la derivata in quel punto non esiste, ho meglio è infinito, quindi la f(x) è derivabile su tutto R-{0}, nell'esempio.Giusto??

Infine nei punti di flesso a tang. abliqua la funzione, ovviamente essendo defin e cont. in quel punto, è derivab. in quel punto??

[hydro]

una funzione f reale di variabile reale è derivabile in un punto x0 se e solo se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale

$ $ \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} $

Prendi la funzione x^3. Esiste ed è finito in x0=0 il limite del rapporto incrementale? Ovviamente sì, e vale 0, quindi la funzione è derivabile in 0.

Prendi la funzione $ \sqrt[3]{x} $, prendi il limite del rapporto incrementale in x0=0. Esiste? sì. E' finito? no. Quindi la funzione non è derivabile in 0.

[hydro]

per quanto riguarda i flessi anche li la f(x) non è derivabile

Ne sei proprio sicuro?

[korkey]

per quanto riguarda i flessi anche li la f(x) non è derivabile

Ne sei proprio sicuro?

no infatti sbagliavo dopo me ne sono accorto.
L'unico punto dove f(x) non è derivabile è x=0

[Jumpy90]

Non è continua in 0, quindi non è neanche derivabile; ma lo è in tutti gli altri punti.

Credevo che la continuità non implicasse la derivabilità!

[albert_K]

Infatti no.
Però la NON continuità implica la NON derivabilità

[Jumpy90]

Non per qualcosa, ma per il solo gusto di sapere mi piacerebbe vedere la dimostrazione se possibile. Grazie.

[Jumpy90]

Ahh...ora che ci penso. E' perfettamente vero, si dimostra facilmente.

[TADW_Elessar]

È già dimostrato:

$ p = {``f:D \to \mathbb{R}\mbox{ è continua in }x_0"} $
$ q = {``f:D \to \mathbb{R}\mbox{ è derivabile in }x_0"} $

$ q \Rightarrow p \quad \rightarrow \quad \mbox{non }p \Rightarrow \mbox{non }q $