interessante proprietà di incerchi e excerchi

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Dimostrare la relazione scritta in figura

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

up! dai che è un bel problemino

[pic88]

A me viene che basta dimostrarlo per n=2 e poi fare l'induzione.

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

super up! forza qualcuno posti una soluzione

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

Vabbè siccome nessuno risponde, in attesa si soluzioni differenti vi metto la mia:

lemma 1

in un generico triangolo chiamiamo $ r_a $ l'exraggio dell'excerchio che tange BC e $ r $ l'inraggio, abbiamo


$ \displaystyle \frac{r}{r_a}=\frac{(p-a)\tan{\frac{\alpha}{2}}}{(p)\tan{\frac{\alpha}{2}}}= \frac{p-a}{p} $

Ma per le formule di Briggs

$ \displaystyle \tan{\frac{\beta}{2}}\tan{\frac{\gamma}{2}}=\frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}}\frac{\sin{\frac{\beta}{2}}}{\cos{\frac{\beta}{2}}}= $$ \displaystyle \sqrt{\frac{(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}=\frac{p-a}{p} $


Dimostrazione

Nel nostro problema chiamiamo $ \angle A_n $, $ \angle B_n $ e $ \angle C_n $ gli angoli del triangolo n-esimo




dobbiamo provare che

$ \displaystyle \frac{\prod_{i=1}^n r_i}{\prod_{i=1}^n x_i}=\frac{r}{x} $

ma per il lemma 1

$ \displaystyle \frac{\prod_{i=1}^n r_i}{\prod_{i=1}^n x_i}=\prod_{i=1}^n \left (\tan{\frac{A_i}{2}}\tan{\frac{B_i}{2}} \right )= $$ \displaystyle \tan{\frac{A_1}{2}} \tan{\frac{A_n}{2}} \prod_{i=2}^{n-1} \left (\tan{\frac{B_i}{2}}\tan{\left (90 - \frac{B_i}{2} \right )} \right )= $$ \displaystyle \tan{\frac{A_1}{2}} \tan{\frac{A_n}{2}} \prod_{i=2}^{n-1} \left (\tan{\frac{B_i}{2}}\cot{\frac{B_i}{2}} \right )= $$ \displaystyle \tan{\frac{A_1}{2}} \tan{\frac{A_n}{2}}=\frac{r}{x} $