1) tg (1°) è razionale?
2) sia k un angolo nell'intervallo (0°, 90°) tale che sen(k)=4/5. dimostrare che k(espresso in gradi sassegimali)è irrazionale.
test giapponesi
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¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾
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Trascendente? Ma anche no eh...
Se n è un numero intero, $ ~ \omega = e^{i\frac{2\pi}n} $ è algebrico perchè soddisfa $ ~ \omega^n-1 = 0 $, quindi anche $ ~ \frac 12(\omega + \frac{1}{\omega}) $ e $ ~ \frac{1}{2i}(\omega - \frac 1 {\omega}) $ sono algebrici, cioè $ ~ \sin \frac{2\pi}n, \cos \frac{2\pi}n $ sono algebrici, e infine il loro rapporto, ovvero la tangente, è algebrico.
Posto n = 360, hai che $ ~ \tan 1° $ è algebrico.
Se n è un numero intero, $ ~ \omega = e^{i\frac{2\pi}n} $ è algebrico perchè soddisfa $ ~ \omega^n-1 = 0 $, quindi anche $ ~ \frac 12(\omega + \frac{1}{\omega}) $ e $ ~ \frac{1}{2i}(\omega - \frac 1 {\omega}) $ sono algebrici, cioè $ ~ \sin \frac{2\pi}n, \cos \frac{2\pi}n $ sono algebrici, e infine il loro rapporto, ovvero la tangente, è algebrico.
Posto n = 360, hai che $ ~ \tan 1° $ è algebrico.
Ah si, avevo sbagliato doveva essere 1 ( in radianti ) infatti sin(1) e trascendente (http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html)e quindi sapendo che e $ sin1= \frac{tg1}{\sqrt{1+tg^2{1}}} $, ne segue che tg(1) nn puo essere algebrico ( cmq molto bella la tua dimostrazione 
!!! )
!!! )MIND TORNA CON NOI
Per il 2), direi così: se k fosse razionale, lo scriviamo come p/q. Inoltre 4/5 è molto comodo, perchè se sin k = 4/5 allora cos k = 3/5.
Quindi, sapendo che $ ~ e^{i 2\pi \frac ab} = \frac 35 + i \frac 45 $, dove a,b sono interi, otteniamo che:
$ ~ ( \frac 35 + i \frac 45)^b - ( \frac 35 - i \frac 45)^b = 0 $, quindi, sviluppando tutto e moltiplicando per 5^b:
$ ~ \sum_{k=0}^b {n \choose k}3^{(n-k)}4^{k}(i^{k} - (-i)^{k}) = 0 $
Ora, i termini con k dispari spariscono, se n è pari, vediamo che l'unico termine non multiplo di 3 è quello con k=n, e quindi è impossibile, se n è dispari, sono tutti multipli di 9 tranne quello con k=n-1, assurdo anche qui.
Quindi, sapendo che $ ~ e^{i 2\pi \frac ab} = \frac 35 + i \frac 45 $, dove a,b sono interi, otteniamo che:
$ ~ ( \frac 35 + i \frac 45)^b - ( \frac 35 - i \frac 45)^b = 0 $, quindi, sviluppando tutto e moltiplicando per 5^b:
$ ~ \sum_{k=0}^b {n \choose k}3^{(n-k)}4^{k}(i^{k} - (-i)^{k}) = 0 $
Ora, i termini con k dispari spariscono, se n è pari, vediamo che l'unico termine non multiplo di 3 è quello con k=n, e quindi è impossibile, se n è dispari, sono tutti multipli di 9 tranne quello con k=n-1, assurdo anche qui.