Dimostrare che
$ \frac{x^3}{(1+y)(1+z)}+\frac{y^3}{(1+x)(1+z)}+\frac{z^3}{(1+x)(1+y)}\geq \frac{3}{4} $
con $ x $, $ y $, $ z $ reali positivi tali che $ xyz=1 $.
Disuguaglianza abbastanza tradizionale
Metodo stranino, ma pare funzioni...
Per Holder (Cauchy grosso):
$ LHS*((1+y)+(1+z)+(1+x))*((1+z)+(1+x)+(1+y)) $$ \ge (x+y+z)^3 $
detto
$ S=x+y+z $ sappiamo che $ S\ge 3 $ per Am-Gm e abbiamo mostrato
$ $ LHS \ge \frac{S^3}{(S+3)^2} $
Ora la funzione $ $ f(X)=\frac{X^3}{(X+3)^2} $ è strettamente crescente in $ [3,+\infty) $, quindi avrà il minimo per $ X=3 $ ma allora
$ $ f(X)\ge f(3)=\frac{3}{4} $ per ogni $ X \in [3,+\infty) $ e avremo in particolare
$ $ \frac{S^3}{(S+3)^2}\ge \frac{3}{4} $ e uguaglianza se ho l'uguaglianza nell'Am-Gm ovvero per tutti 1.
Per Holder (Cauchy grosso):
$ LHS*((1+y)+(1+z)+(1+x))*((1+z)+(1+x)+(1+y)) $$ \ge (x+y+z)^3 $
detto
$ S=x+y+z $ sappiamo che $ S\ge 3 $ per Am-Gm e abbiamo mostrato
$ $ LHS \ge \frac{S^3}{(S+3)^2} $
Ora la funzione $ $ f(X)=\frac{X^3}{(X+3)^2} $ è strettamente crescente in $ [3,+\infty) $, quindi avrà il minimo per $ X=3 $ ma allora
$ $ f(X)\ge f(3)=\frac{3}{4} $ per ogni $ X \in [3,+\infty) $ e avremo in particolare
$ $ \frac{S^3}{(S+3)^2}\ge \frac{3}{4} $ e uguaglianza se ho l'uguaglianza nell'Am-Gm ovvero per tutti 1.
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
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darkcrystal
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LINK!
In effetti l'Holder delle schede olimpiche è diverso, anche se spesso in ML chiamano Holder quella che ho scritto io nel link, anche se poi non ho mai avuto voglia di postare la dimostrazione, assicuro che è proprio induzione+l'Holder delle schede banale banale... Se proprio non ce la fate la posto ma tekkarla è uno schifo con tutte quelle produttorie
In effetti l'Holder delle schede olimpiche è diverso, anche se spesso in ML chiamano Holder quella che ho scritto io nel link, anche se poi non ho mai avuto voglia di postare la dimostrazione, assicuro che è proprio induzione+l'Holder delle schede banale banale... Se proprio non ce la fate la posto ma tekkarla è uno schifo con tutte quelle produttorie
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)
Scusate se riesumo il thread dopo una settimana ma me ne è venuta in mente una più semplice:
Per AM-GM si ha che
$ \displaystyle LHS \ge 3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{(1+x)^2(1+y)^2(1+z)^2}} $$ =\displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{(2+xy+yz+zx+x+y+z)^2}} $
$ xyz=1 => xy=\displaystyle \frac{1}{z} $
$ \displaystyle z+\frac{1}{z} \ge 2 $
Quindi
$ \displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{(2+xy+yz+zx+x+y+z)^2}}=\displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{2^6}}= \displaystyle \frac{3}{4} $
Potrei sapere la fonte di questo problema che mi sembra d'averlo già visto, ma non mi ricordo dove? Grazie
Per AM-GM si ha che
$ \displaystyle LHS \ge 3\sqrt[3]{\frac{x^3y^3z^3}{(1+x)^2(1+y)^2(1+z)^2}} $$ =\displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{(2+xy+yz+zx+x+y+z)^2}} $
$ xyz=1 => xy=\displaystyle \frac{1}{z} $
$ \displaystyle z+\frac{1}{z} \ge 2 $
Quindi
$ \displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{(2+xy+yz+zx+x+y+z)^2}}=\displaystyle3\sqrt[3]{\frac{1}{2^6}}= \displaystyle \frac{3}{4} $
Potrei sapere la fonte di questo problema che mi sembra d'averlo già visto, ma non mi ricordo dove? Grazie
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