Come si calcolano le derivate parziali della seguente funzione?
f(x,y)=x * e ^y-x - y
e è elevato a y-x
Spero sia chiaro...vi ringrazio a tutti
DERIVATE PARZIALI
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killing_buddha
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Ponnamperuma
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Ponnamperuma
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Grazie mille...si si svolgendolo mi sono accorta che effettivamente si deve raccogliere.un ultimissima cosa sempre sulle derivate parziali di una funzione...ho la seguente funzione: f(x,y)=xy-sen(xy)cos(xy)...volevo spiegato come dovrei svolgerla...il risultato finale è già scritto sul libro quindi non mi interessa.Volevo semplicemente spiegato come si dovrebbe fare,cioè se fare prima la derivate di xy e poi svolgere il resto applicando la formula di derivazione del prodotto di due funzioni su sen e cos,oppure in un altro modo????
Grazie mille a tutti
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Ponnamperuma
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$ \displaystyle f(x)=xy-\sin(xy)\cos(xy)=xy-\frac{1}{2}\sin(2xy) $.
$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y-\frac{1}{2}2y\cos(2xy)=y(1-\cos(2xy)) $
$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x-\frac{1}{2}2x\cos(2xy)=x(1-\cos(2xy)) $.
... il tutto modulo errori di calcolo...
$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=y-\frac{1}{2}2y\cos(2xy)=y(1-\cos(2xy)) $
$ \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=x-\frac{1}{2}2x\cos(2xy)=x(1-\cos(2xy)) $.
... il tutto modulo errori di calcolo...
La grandezza dell'uomo si misura in base a quel che cerca e all'insistenza con cui egli resta alla ricerca. - Martin Heidegger
MIND torna!! :D
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Ciao ropa.
Mi scuso se dirò cose per te ovvie, ma non conosco il tuo livello di preparazione.
a) L'operatore di derivazione è un operatore lineare (i.e. rispetta le somme e le moltiplicazioni per le costanti). Quindi per fare le derivate parziali della f puoi fare le derivate parziali dei due addendi e poi sommarle. Se il motivo di ciò non ti è chiaro, chiariscitelo.
b) Di conseguenza il problema di fare le derivate della f si riduce a fare le derivate di xy e di sen(xy)cos(xy). Poiché la f è simmetrica rispetto a x e y, possiamo risolvere ambo i casi facendo la derivata parziale rispetto a x (quando la vorrai fare rispetto a y, prenderai quella rispetto a x e sostituirai x con y).
c) La derivata di xy rispetto a x è y. Se ciò non ti è chiaro, chiariscitelo.
d) Ci rimane da fare la derivata di sen(xy)cos(xy) rispetto a x. Volendo osservare tale funzione così come ti si presenta, si tratta del prodotto di sen(xy) e cos(xy). Usando la formula di derivazione di un prodotto, (gh)'=g'h+gh', ponendo in tale formula g(x,y)=sen(xy), h(x,y)=cos(xy), e intendendole come funzioni della sola x (cosicché per esempio g' significa derivata di g rispetto a x) ti puoi dunque ricondurre a derivare sen(xy) e cos(xy) rispetto a x. Se ciò non ti è chiaro, chiariscitelo.
e) Ci rimane da derivare sen(xy) e cos(xy) rispetto a x. Prendiamo per esempio sen(xy). La funzione $ x \mapsto \sin(xy) $ (ricorda che stiamo assumendo y costante) è la composizione di $ x \mapsto xy $ con $ x \mapsto \sin x $. Applicando la formula di derivazione di una funzione composta, otterrai la derivata di $ X \mapsto Xy $ valutata in x moltiplicata per la derivata di $ X \mapsto \sin X $ valutata in xy. Ovvero, otterrai $ y \cos (xy) $. Schematicamente:
- Devo derivare $ \sin(xy) $ rispetto a x;
- assumo y costante;
- definisco h(x)=xy;
- definisco g(x)=sin(x);
- derivare sin(xy) rispetto a x significa quindi derivare $ g \circ h $ rispetto alla sua unica variabile, x. Ma $ (g \circ h)'(x)=g'(h(x))h'(x) $. Attenzione: quando scrivo $ g'(h(x)) $ intendo che devi trovare la funzione derivata g' di g e poi valutare in h(x)! La funzione g è la funzione seno, quindi la sua derivata è la funzione coseno. Ne segue che $ g'(h(x))=\cos (h(x))=\cos (xy) $;
- quindi $ (g \circ h)'(x)=g'(h(x))h'(x)=\cos(xy)y $.
Analogamente, la derivata di cos(xy) rispetto a x è $ -y \sin(xy) $. Quindi applicando la formula per il prodotto, la derivata di f(x,y) rispetto a x è
$ y-[y \cos(xy) \cos(xy)+(-y \sin(xy)) \sin(xy)] $
Siccome $ \cos(2X)=\cos^2(X)-\sin^2(X) $ la soluzione si può scrivere anche come
$ y(1-\cos(2xy)) $
Per quello che ho detto prima, se prendi quest'ultima cosa scritta e scambi le due variabili x e y ottieni la derivata parziale della f rispetto a y.
Ciao ciao.
Mi scuso se dirò cose per te ovvie, ma non conosco il tuo livello di preparazione.
$ f(x,y)=xy-\sin (xy) \cos (xy) $ropa83 ha scritto:Grazie mille...si si svolgendolo mi sono accorta che effettivamente si deve raccogliere.un ultimissima cosa sempre sulle derivate parziali di una funzione...ho la seguente funzione: f(x,y)=xy-sen(xy)cos(xy)...volevo spiegato come dovrei svolgerla...il risultato finale è già scritto sul libro quindi non mi interessa.Volevo semplicemente spiegato come si dovrebbe fare,cioè se fare prima la derivate di xy e poi svolgere il resto applicando la formula di derivazione del prodotto di due funzioni su sen e cos,oppure in un altro modo????
Grazie mille a tutti
a) L'operatore di derivazione è un operatore lineare (i.e. rispetta le somme e le moltiplicazioni per le costanti). Quindi per fare le derivate parziali della f puoi fare le derivate parziali dei due addendi e poi sommarle. Se il motivo di ciò non ti è chiaro, chiariscitelo.
b) Di conseguenza il problema di fare le derivate della f si riduce a fare le derivate di xy e di sen(xy)cos(xy). Poiché la f è simmetrica rispetto a x e y, possiamo risolvere ambo i casi facendo la derivata parziale rispetto a x (quando la vorrai fare rispetto a y, prenderai quella rispetto a x e sostituirai x con y).
c) La derivata di xy rispetto a x è y. Se ciò non ti è chiaro, chiariscitelo.
d) Ci rimane da fare la derivata di sen(xy)cos(xy) rispetto a x. Volendo osservare tale funzione così come ti si presenta, si tratta del prodotto di sen(xy) e cos(xy). Usando la formula di derivazione di un prodotto, (gh)'=g'h+gh', ponendo in tale formula g(x,y)=sen(xy), h(x,y)=cos(xy), e intendendole come funzioni della sola x (cosicché per esempio g' significa derivata di g rispetto a x) ti puoi dunque ricondurre a derivare sen(xy) e cos(xy) rispetto a x. Se ciò non ti è chiaro, chiariscitelo.
e) Ci rimane da derivare sen(xy) e cos(xy) rispetto a x. Prendiamo per esempio sen(xy). La funzione $ x \mapsto \sin(xy) $ (ricorda che stiamo assumendo y costante) è la composizione di $ x \mapsto xy $ con $ x \mapsto \sin x $. Applicando la formula di derivazione di una funzione composta, otterrai la derivata di $ X \mapsto Xy $ valutata in x moltiplicata per la derivata di $ X \mapsto \sin X $ valutata in xy. Ovvero, otterrai $ y \cos (xy) $. Schematicamente:
- Devo derivare $ \sin(xy) $ rispetto a x;
- assumo y costante;
- definisco h(x)=xy;
- definisco g(x)=sin(x);
- derivare sin(xy) rispetto a x significa quindi derivare $ g \circ h $ rispetto alla sua unica variabile, x. Ma $ (g \circ h)'(x)=g'(h(x))h'(x) $. Attenzione: quando scrivo $ g'(h(x)) $ intendo che devi trovare la funzione derivata g' di g e poi valutare in h(x)! La funzione g è la funzione seno, quindi la sua derivata è la funzione coseno. Ne segue che $ g'(h(x))=\cos (h(x))=\cos (xy) $;
- quindi $ (g \circ h)'(x)=g'(h(x))h'(x)=\cos(xy)y $.
Analogamente, la derivata di cos(xy) rispetto a x è $ -y \sin(xy) $. Quindi applicando la formula per il prodotto, la derivata di f(x,y) rispetto a x è
$ y-[y \cos(xy) \cos(xy)+(-y \sin(xy)) \sin(xy)] $
Siccome $ \cos(2X)=\cos^2(X)-\sin^2(X) $ la soluzione si può scrivere anche come
$ y(1-\cos(2xy)) $
Per quello che ho detto prima, se prendi quest'ultima cosa scritta e scambi le due variabili x e y ottieni la derivata parziale della f rispetto a y.
Ciao ciao.
"Possono essere anche patate, basta che ci sia l'azione!"