Irriducibilità di x^n - a

[edriv]

Dato un intero a, dimostrare che il polinomio
$ ~ x^n-a $
si scomone nei polinomi a coefficienti interi se e soltanto se esistono interi b,c,k, con k>1, tali che $ ~ n = bk, a = c^k $.

[edit: come giustamente mi fa notare gianmaria, ho dovuto togliere un "positivi" da qualche parte perchè tornasse]

[darkcrystal]

Un bel problemino! Dunque, chiamiamo $ p(x)=x^n-a $ e supponiamo che si scomponga $ p(x)=q(x)r(x) $ in due polinomi di grado j e n-j.

Poichè le radici di p(x) sono tutte e solo le radici n-esime di a, q(x) è il prodotto di un po' di termini $ (x-\omega_i) $ con $ \omega_i $ radici n-esime di a.

Del resto, il termine noto di q(x) deve essere un intero: perciò il prodotto di "un po'" di queste radici di a deve essere un intero, e quindi avere norma intera.

Le norme dei complessi moltiplicano, quindi dev'essere $ (|a|^{1/n})^j \in \mathbb{Z} $. Sia ora d=(n,j); n=db, j=dc. Per ogni esponente $ \alpha_i $ nella fattorizzazione unica di a vale allora $ db | dc\alpha_i \leftrightarrow b|c \alpha_i \leftrightarrow b|\alpha_i $ (perchè (b,c)=1).

Se ne ha quindi che a è una potenza b-esima, dunque $ a=r^b $ e $ n=kb $ (ormai avevo cambiato lettere, scusate )

Per il se invece è abbastanza semplice: basta usare le stranote fattorizzazioni "notevoli"

Modulo il fatto che non ho voglia di controllare se c'è qualche problema con i negativi, perchè al momento preferisco andarmene a letto, questa è la mia soluzione

Ciao a tutti!

[edriv]

Ok.

Io l'avevo dimostrato col criterio di Eisenstein.

[darkcrystal]

Noooo ci ho provato per ore
Puoi postare la soluzione con Eisenstein? (l'unica cosa a cui ero arrivato era per n potenza di 2, mi sembrava un po' pochino...)

Ciao!

[edriv]

Hmm... non riesco a ritrovare la soluzione, probabilmente era cannata o ingeneralizzabile figo eh