Sia A un insieme finito di sottoinsiemi di $ ~ \mathbb{N} $, la cui unione è proprio $ ~ \mathbb{N} $.
Dimostrare che esiste un elemento $ ~ X \in A $ tale che, per ogni intero positivo m, X contiene infiniti multipli di m.
Multipli di interi e insiemi partition regular
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enomis_costa88
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Figo come problemino-ino-ino (mi ricorda molto uno di un vecchissimo giornale di quasi 3 anni fa, tipo il primo problema veramente carino che abbia risolto)..dai due soluzioni visto che nessuno ci si mette!
Prima:
Al passo i esimo elimino gli insiemi che hanno un numero finito di multipli di i!:
Se da un certo passo k in poi otterrò un solo insieme (ed esiste almeno un'insieme poichè se tutti contenessero un numero finito di multipli di k!....) allora quello dovrà contenere tutti i multipli abbastanza grossi di k! e quindi infiniti multipli di ogni numero.
Se non esiste tale k bè tanto meglio
E seconda:
se non ci fosse tale insieme ciascun insieme i dovrebbe contenere un numero finito di multipli di almeno un numero k_i (che dipende dall'insieme scelto).
La produttoria dei k_i la chiamo P.
Ciascun'insieme contiene un numero finito di multipli di P.
Assurdo
Ciao!
Prima:
Al passo i esimo elimino gli insiemi che hanno un numero finito di multipli di i!:
Se da un certo passo k in poi otterrò un solo insieme (ed esiste almeno un'insieme poichè se tutti contenessero un numero finito di multipli di k!....) allora quello dovrà contenere tutti i multipli abbastanza grossi di k! e quindi infiniti multipli di ogni numero.
Se non esiste tale k bè tanto meglio
E seconda:
se non ci fosse tale insieme ciascun insieme i dovrebbe contenere un numero finito di multipli di almeno un numero k_i (che dipende dall'insieme scelto).
La produttoria dei k_i la chiamo P.
Ciascun'insieme contiene un numero finito di multipli di P.
Assurdo
Ciao!
"Tu che lo vendi cosa ti compri di migliore?"
Membro dell' "Associazione non dimenticatevi dei nanetti! "
Membro dell'EATO.
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Multipli di m, ma come sei noioso edrive...
Sia B un insieme (di cardinalita' infinita) e F un suo filtro non banale, e A una famiglia finita di sottoinsiemi di B la cui unione e' B.
Dimostrare che esiste un elemento $ ~ X \in A $ tale che, per ogni $ f\in F $, $ |X\cap f|=\infty $
(in realta' la dimostrazione di enomis vale anche per questa tesi, ma enunciato cosi' il problema e' molto piu' fiQo...)
edit: ah edrive, l'avevo detto che eri noioso..
Sia B un insieme (di cardinalita' infinita) e F un suo filtro non banale, e A una famiglia finita di sottoinsiemi di B la cui unione e' B.
Dimostrare che esiste un elemento $ ~ X \in A $ tale che, per ogni $ f\in F $, $ |X\cap f|=\infty $
(in realta' la dimostrazione di enomis vale anche per questa tesi, ma enunciato cosi' il problema e' molto piu' fiQo...)
edit: ah edrive, l'avevo detto che eri noioso..
Ultima modifica di piever il 19 lug 2007, 16:02, modificato 2 volte in totale.
"Sei la Barbara della situazione!" (Tap)
Sarò noioso ma almeno come l'avevo annunciato io il problema era perfettamente accessibile a tutti gli utenti del forum (link)
Che poi la generalizzazione non la capisco neanche io...
- immagino che supponi che B sia infinito
ed ora:
- se supponi A finito, esiste un elemento di A con cardinalità infinita, e quindi banalmente la sua unione con qualsiasi insieme ha cardinalità infinita
- se non supponi A finito, prendiamo A = insieme dei {b} con b in B. Allora la tesi diventa equivalente al fatto che ogni elemento del filtro sia infinito, che:
- se per "non banale" intendi "l'intersezione di tutti i suoi elementi è l'insieme vuoto", ci sto
- altrimenti no
Altre interpretazioni:
al posto dell'unione ci metto un'intersezione. Allora bisogna aggiungere 3 ipotesi perchè la tesi funzioni:
- B infinito
- A finito
Che poi la generalizzazione non la capisco neanche io...
- immagino che supponi che B sia infinito
ed ora:
- se supponi A finito, esiste un elemento di A con cardinalità infinita, e quindi banalmente la sua unione con qualsiasi insieme ha cardinalità infinita
- se non supponi A finito, prendiamo A = insieme dei {b} con b in B. Allora la tesi diventa equivalente al fatto che ogni elemento del filtro sia infinito, che:
- se per "non banale" intendi "l'intersezione di tutti i suoi elementi è l'insieme vuoto", ci sto
- altrimenti no
Altre interpretazioni:
al posto dell'unione ci metto un'intersezione. Allora bisogna aggiungere 3 ipotesi perchè la tesi funzioni:
- B infinito
- A finito