Sempre quadrati...

[moebius]

Avete un quadrato (sentitevi fortunati, c'è chi passa la vita con i triangoli).
Esiste un naturale n per il quale, per ogni m>n è possibile suddividere il quadrato in m quadrati non necessariamente uguali?

[Jacobi]

aavevo scritto una cosa xro era una cavolata

[Zoidberg]

Allora...

Chiamiamo L il lato del quadrato.
Se m è pari e $ \geq4 $ allora posso sempre dividere il quadrato grosso in un quadrato di lato $ \displaystyle L-\frac{2L}{M} $, addossarlo a due lati, e riempire il resto con $ M-1 $ quadrati di lato $ \frac{2L}{M} $.
Se M è dispari posso fare la stessa cosa e ripeterla per uno dei nuovi quadrati ottenuti, ma in questo caso M dovrà essere $ \geq7 $.

Quindi io propongo N=6

[pic88]

Cesenatico 1994, problema n.1.

La risposta è si, visto che il problema era "si dimostri che esiste n tale che.."

EDIT: Ora vediamo come.
Dato un quadrato nxn, diviso in N quadrati, si può fare un quadrato nxn diviso in N+3 parti: basta dividere in 4 uno dei quadrati.

Basta dimostrare che è possibile farlo per 7,8,9, con un disegno che non sto a farvi perché avete capito

[Zoidberg]

Mmm ma i lati dei quadrati devono essere interi?
Non era specificato...

[pic88]

Beh, se lo sono tanto meglio!

Comunque ho fatto un errore, quando finisco di pranzare edito!

[3C273]

Mmm ma i lati dei quadrati devono essere interi?
Non era specificato...

Perchè dovrebbero essere interi? Cioè, come mai ti poni questa domanda? Se chiedessi i lati dei quadratini interi, non esisterebbe quel famoso $ N\,|\,\forall\, M>N $ si possa fare la suddivisione, perchè non potrei dividere in più di $ L^{2} $ quadrati... o non ho capito qualcosa?
Comunque io l'avevo risolto come te per i pari, e poi (va be', è già stato detto anche questo...) osservando che per $ M $ dispari mi bastava saper dividere in $ M-3 $ (che è pari) e poi prendere un quadrato e dividerlo in 4. Quindi $ N=5 $.

[Zoidberg]

Mmm ma i lati dei quadrati devono essere interi?
Non era specificato...

Perchè dovrebbero essere interi? Cioè, come mai ti poni questa domanda? Se chiedessi i lati dei quadratini interi, non esisterebbe quel famoso $ N\,|\,\forall\, M>N $ si possa fare la suddivisione, perchè non potrei dividere in più di $ L^{2} $ quadrati... o non ho capito qualcosa?
Comunque io l'avevo risolto come te per i pari, e poi (va be', è già stato detto anche questo...) osservando che per $ M $ dispari mi bastava saper dividere in $ M-3 $ (che è pari) e poi prendere un quadrato e dividerlo in 4. Quindi $ N=5 $.

Si infatti non mi ero posto il problema ma poi vedendo la suluzione di pic88 prima dell'edit mi è venuto il dubbio di essermi perso qualcosa del testo (il che mi succede spesso).

[3C273]

Ah ok! Avendo visto la soluzione di pic solo dopo l'edit non avevo proprio capito come ti era venuto in mente, quindi ho chiesto, anche perchè anche a me...

è venuto il dubbio di essermi perso qualcosa del testo (il che mi succede spesso)

...!!!

[moebius]

Cesenatico 1994, problema n.1.

Ecco... non mi ricordavo dove l'avevo sentito!

Comunque anche per me n=5... non capisco però la soluzione di pic... che c'entrano 7,8,9? Casomai 6,7,8...

[pic88]

Comunque anche per me n=5... non capisco però la soluzione di pic... che c'entrano 7,8,9? Casomai 6,7,8...

Ok, ma basta prendere un rappresentante per ogni classe di resto modulo 3, tanto il problema non chiede di determinare il più piccolo n.

[moebius]

Si, era solo che non si capiva se per te si poteva fare per 6... tutto qui
Qualcuno dimostra che non si può fare per 5?