2002!
2002!
determinare con quanti zeri termina in base 12 il fattoriale di 2002
Un problemino sui fattoriali! E' quello che ci vuole per sgranchirmi un po'!! 
Allora per sapere con quanti zeri termina 2002! mi basta contare i fattori 12 presenti nel numero (così come in base 10 mi basta contare i fattori 10). Essendo 12=3*4, devo contare i fattori 3 e 4.
Per l'identità di Legendre-De Polignac si ha che la massima potenza di $ p $ (primo) che divide $ n! $ è $ \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor $.
Quindi si ha che il numero di fattori 3 in 2002! è $ \displaystyle\left\lfloor\frac{2002}{3^1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2002}{3^2}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{2002}{3^6}\right\rfloor=1071 $
Mentre il numero di fattori 2 è $ \displaystyle\left\lfloor\frac{2002}{2^1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2002}{2^2}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{2002}{2^{10}}\right\rfloor=1995 $. I fattori 4 sono la metà, cioè 997.
Essendo meno dei fattori 3, si ha che la massima potenza di 12 che divide 2002! è $ 12^{997} $. Quindi il numero in base 12 termina con 997 zeri, come già detto da Zoidberg!
Allora per sapere con quanti zeri termina 2002! mi basta contare i fattori 12 presenti nel numero (così come in base 10 mi basta contare i fattori 10). Essendo 12=3*4, devo contare i fattori 3 e 4.
Per l'identità di Legendre-De Polignac si ha che la massima potenza di $ p $ (primo) che divide $ n! $ è $ \displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor $.
Quindi si ha che il numero di fattori 3 in 2002! è $ \displaystyle\left\lfloor\frac{2002}{3^1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2002}{3^2}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{2002}{3^6}\right\rfloor=1071 $
Mentre il numero di fattori 2 è $ \displaystyle\left\lfloor\frac{2002}{2^1}\right\rfloor + \left\lfloor\frac{2002}{2^2}\right\rfloor + ... + \left\lfloor\frac{2002}{2^{10}}\right\rfloor=1995 $. I fattori 4 sono la metà, cioè 997.
Essendo meno dei fattori 3, si ha che la massima potenza di 12 che divide 2002! è $ 12^{997} $. Quindi il numero in base 12 termina con 997 zeri, come già detto da Zoidberg!
>>> Io sono la gomma e tu la colla! <<<
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