Quanto è veloce quell'onda!

[enomis_costa88]

Una fune di massa m e lunghezza L pende dal soffitto.

1) mostrare che la velocità di un'onda trasversale sulla fune è una funzione di y, la distanza dall'estremo inferiore della fune, data da $ v=\sqrt{gy} $
2)Il tempo di percorrenza della fune da parte dell'onda è dato da $ t=2\sqrt{\frac{L}{g}} $

Il problema sembra davvero carino..ma per il secondo punto mi chiedevo se esistesse una soluzione decente (io ho usato una brutta differenziale) vabbè buon lavoro!

[enomis_costa88]

Vabbè io avevo pigliato la formula del primo punto e ci avevo messo di mezzo t ottenendo una differenziale del tipo $ f'(x)=k \sqrt{f(x)} $
che ha soluzione $ f(x)=(\frac{k}{2}x)^2 $

(vabbè non è che ci abbia messo poi tanto di più..bè capito che l'idea è scrivere dt=ds/v anche se ciò che hai scritto è scritto veramente male)

[zancus]

Aggiungendo ulteriori richieste:
Se una massa $ $M$ $ è appesa al filo, si mostri che

(a) il tempo che impiega un'onda trasversale per percorrere l'intera corda è
$ $t=2 \sqrt {\frac{L}{mg}}\left[ \sqrt {(M+m)}- \sqrt {M} \right ]$ $

(b) se $ $m\ll M$ $, si mostri che l'espressione fornita in (a) è ben approssimata da
$ $t=\sqrt{\frac{mL}{Mg}}$ $

è il punto (b) che non mi viene...

[TADW_Elessar]

Il b) è così facile facile Carino anche il primo punto comunque.

per $ ~x\ll1 $, $ ~(1\pm x)^{\alpha} \approx 1\pm \alpha x $
(te ne puoi convincere in due minuti con il polinomio di Taylor)

Quindi:
$ \displaystyle \sqrt{M+m} - \sqrt{M} = \sqrt{M(1+m/M)} - \sqrt{M} = $

$ \displaystyle = \sqrt{M}\left[\left(1+\frac {m}{M}\right)^{1/2} -1 \right]= $

$ \displaystyle = \sqrt{M}\left(1+\frac{m}{2M} -1 \right) $

Sostituendo in quello di prima:

$ \displaystyle t = 2\sqrt{\frac{LM}{mg}}\frac{m}{2M} $

il due va via e portando dentro la radice arriva subito:


$ \displaystyle t = \sqrt{\frac{mL}{Mg}} $

[zancus]

Ok capito!
L'approssimazione che hai usato devo averla vista per sbaglio chissà dove... comunque non me la ricordavo; è un'ingiustizia che a scuola non abbia fatto taylor... sembra divertente

[TADW_Elessar]

Neanche io l'ho studiato. Ma per studiare fisica è quasi indispensabile