Che cos'ho fatto?

[killing_buddha]

Sia $ \displaystyle f(x) = e^{-t}\frac{t^x}{x!} $: voglio trovare il punto di massimo e faccio
$ \displaystyle \frac{d f(x)}{d x} = 0 $

$ \displaystyle e^{-t} t^x \left( \frac{\ln t}{x!} - \frac{\frac{dx!}{dx}}{x!^2}\right) = 0 $

che Derive mi suggerisce annullarsi quando

$ x! \ln t - \frac{dx!}{dx} = 0 $

ora, questa è un'equazione differenziale? Se sì, risolverla a cosa porta? che ci azzecca x fattoriale?

ho editato, adesso dovrebbe essere giusto

[EvaristeG]

Uhm .. scusa, ma f per come l'hai scritta tu dipende da t e da x. Se a te interessa solo la dipendenza da x, puoi trascurare il termine moltiplicativo
$ e^{-t}/t! $ e cercare il massimo di $ t^x $, che però è una funzione strettamente monotona, se t non è 1. Quindi un vero e proprio massimo non c'è. C'è un estremo superiore che sarà però infinito.

E, per rispondere a quello che chiedi, la derivata di f rispetto a x è
$ e^{-t}\frac{\log t}{t!}t^x $
e non quella roba che hai scritto tu ... che sembra il risultato dell'aver scritto x! al posto di t! in un programma di calcolo simbolico...

[killing_buddha]

scusa, mi sono accorto di un'errore: a denominatore c'è x fattoriale, non t

[EvaristeG]

...allora ... innanzitutto x! è definito solo per x naturale, a meno che tu non voglia tirare in ballo la funzione gamma...
quindi fare la derivata non è proprio una saggia idea...quella che derive ti propone non è un'equazione differenziale, semplicemente lui non sa derivare x! e te ne lascia indicata la derivata...