Sono grande, ma non sono esperto, ed è tanto che non posto una soluzione,
dunque... (spero di non sbagliare come mio solito)
Parte I: sia $ \displaystyle \sigma: \{a_1,\dots,a_n\} \rightarrow \{b_1,\dots,b_n\} $ una permutazione degli $ a_i $ tale che $ b_1 < b_2 < \dots <b_n $, per riarrangiamento si ha $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k^2} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{b_k}{k^2} $.
Parte II: se $ b_1 < b_2 < \dots < b_n $ allora $ \displaystyle \forall k \in \{1,\dots,n\}, b_k \geq k $; per $ k=1 $ deve essere $ b_1 \geq 1 $, vera perchè il più piccolo valore che può assumere un $ b_i $ è 1 per ipotesi; sia vero il lemma per k e dimostriamolo per k+1: $ \displaystyle b_k \geq k \Rightarrow b_k + 1 \geq k + 1 \Rightarrow b_{k+1}\geq b_k+1 \geq k+1 \Rightarrow b_{k+1} \geq k+1 $; per induzione la parte II è dimostrata.
Parte III: Da II deduciamo che $ \displaystyle \forall k \in \{1,...,n\}, \frac{b_k}{k} \geq 1 $ da cui $ \displaystyle \forall k \in \{1,...,n\}, \frac{b_k}{k^2} \geq \frac{1}{k} \Rightarrow \sum_{k=1}^{n} \frac{b_k}{k^2} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} $.
Epilogo: da parte I e parte III segue $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k^2} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{b_k}{k^2} \geq \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} $ c.v.d..
Bye,
#Poliwhirl#
[EDIT: corretto, forse]